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Équation différentielle
Yop tout l'monde. J'ai un exercice sur les équations différentielles qui me pose problème. Le voici:
Soit E l'ensemble des fonctions dérivable 3 fois sur R et dont la 3e dérivée est continue telle que:
(x-1)f''(x)-xf'(x)+f(x)=0
Démontrer que f
E 
(
xR, f'''(x)=f''(x))
Pour l'implication directe, il suffit de dériver l'équation différentielle. Mais pour l'autre ? Sachant que je ne peux pas la résoudre avant la question suivante.
Merci d'avance.
salut
f"'(x)=f"(x) on multiplie mbr à mbr par (x-1) ca donne (x-1).f"'(x)=(x-1).f"(x)
en integrant une fois f"'(x)=f"(x) on a f"(x)= f'(x) et en multipliant par -x on a
-x.f"(x)= -x.f'(x)
en integrant trois fois f"'(x)=f"(x) on a f'(x)= f(x) puis en addtionnant le tout mbr à mbr
ca donnerai (x-1).f"'(x)-x.f"(x) + f'(x) = (x-1).f"(x)-x.f'(x) + f(x) et comme (x-1).f"'(x)-x.f"(x) + f'(x) = 0
alors (x-1).f"(x)-x.f'(x) + f(x) et on retombe sur l'équation de depart
Même la 2e question me pose problème en fait.
On me dit: démontrer que E est l'ensemble des fonctions de forme f(x)=cx+ue^(x)
Alors que moi je trouve pour f''(x)=f'''(x): f(x)=cx+ue^(x)+a. (a,u,c des constantes réelles)
salut
oui ce n'est pas aussi simple !!!
y"' = y" <==> y" = y' + a
...
quelle est la suite de l'exercice ?
(x - 1)y" - xy' + y = (x - 1)(y" - y') - (y' - y) = 0
donc f est solution de l'équation :: y' - y = u(x)
et u est solution de l'équation :: (x - 1)y' - y = 0
...
Très jolie méthode Carpe. J'arrive aux solutions données dans l'exercice avec ta méthode. Par contre, pourquoi est ce que je ne trouve pas les mêmes solution pour f'''(x)=f''(x) ? Je me suis trompé quelque part ?
solution particulière de (1) ::
y(x) = ax + b ==> y'(x) = a
a - (ax + b) = k(x - 1) <==> -a = k et a - b = -k <==> a = -k et b = 0
donc les solutions sont les fonctions ::
en posant K = -k
à vérifier ...
je ne sais pas ... mais
si y"' = y" ==> y" = y' + a ==> y' = y + ax + b
et y est dans E alors
(x - 1)y" - xy' + y = (x - 1)(y' + a) - xy' + y = (x - 1)a - y' + y = (x - 1)a - (y + ax + b) + y = -a -b = 0
<==> b = -a
donc on retombe sur l'équation y' - y = a(x - 1)
sinon je ne sais pas ce que tu fais en partant de f"' = f" ...
dernière remarque :: f(x) = ax + b est dans E <==> b = 0 (à vérifier)
...
Je trouve comme toi avec le facteur intégrant. Et pour y"=y''' ? Si je ne me suis pas trompé alors y'a une erreur dans l'énoncé.
En partant de f"=f''' f'=f"+af=f'+ax+c (1)
Équation linéaire d'ordre 1 que je résouds avec facteur intégrant.
(1) (e^(-x)f)'=(-ae^(-x)(x+1)+ce^(-x)+u)'f(x)=-a(x+1)+ue^(x)+c
Y'a plus qu'a arranger les constantes.
(x - 1)y" - xy' + y = 0 ==> y" + (x - 1)y"' - y' - xy" + y' = 0 ==> (x - 1)y"' = (x - 1)y" ==> y"' = y"
réciproquement on suppose que y"' = y"
alors en posant f(x) = (x - 1)y" - xy' + y
alors f'(x) = y" +(x - 1)y"' - y' - xy" + y' = 0
donc f(x) = k
... je ne vois pas comment conclure ....
Ça aussi j'y ai pensé. Mais j'ai pas trouvé de point où f s'annule.
Si quelqu'un pouvait résoudre l'équation avec un logiciel (genre wolframalpha) pour s'assurer qu'on essaie pas de prouver un truc faux. (je galère sur téléphone moi alors je ne peux pas)
Mais f(x)=kx+ce^(x)+a la vérifie aussi et représente un plus grand ensemble de solutions que f(x)=kx+ce^(x). Non ?
Je ne crois pas. Donc si une solution de y"=y''' n'est pas solution de l'équation différentielle de l'exercice, c'est qu'elle ne sont pas équivalente.
oui ... et il y a un pb dans l'énoncé ....
et il ne faut pas croire il faut en être sur .... en le prouvant ...
Je dis je crois car j'ai eu la flemme de vérifier en calculant. (J'ai donc supposé que nos solutions étaient justes)
Donc il y'a bien un problème dans l'énoncé.
Bonjour,
Il n'est pas demandé de résoudre l'équation.
Pour la réciproque:
f'''(x)=f''(x) correspond à:
L'équation initiale se réécrit alors:
...
salut tu changes l'enonce 
1/ montrer que si y verifie l'ED alors y'''=y''
2/ en deduire les solutions de l'ED
Non,
1/...
2/ si y"'=y" alors (x-1)f''(x)-xf'(x)+f(x)=0
L'énoncé ne suppose pas le calcul de f,
Alain
A la fin on nous demande les solutions.
J'me suis contenté de la résoudre comme a fait carpe. (Poser u(x)=f'(x)-f(x))
Exact. Enfin moi je parlais de (x-1)f''(x)-xf'(x)+f(x)=0 dans mon précédent post. Mais c'est vrai que j'ai fait un détour inutile pour y"=y'''
17h34 :: ha oui l'idée n'est pas mauvaise ....
mais ensuite il faut vérifier que f(x) = cexp(x) + ax + b est bien solution de l'ED ....
Carpe, si tu parles de l'équation (x-1)f''(x)-xf'(x)+f(x)=0, ce n'est pas le cas.
Alb, on me dit : Démontrer que E est l'ensemble des fonctions de forme : f(x)=cx+ue^(x)
C'est bien ce que j'ai trouvé. Mais ce ne sont pas les solutions de y"=y'''.
non mais dans les solutions de y"' = y" il y a les solutions de l'ED ou encore f est solution de l'ED ==> f"' = f"
donc on détermine les solutions de y"' = y" puis on prend celles qui conviennent
...
moi je vois la resolution ainsi:
sur ]1,inf[ par exemple.
si y verifie l'ED alors y'''=y'' alors y=a+b*x+c*exp(x)
si y=a+b*x+c*exp(x) est solution alors a=0
d'où l'ensemble des solutions.
non mais dans les solutions de y"' = y" il y a les solutions de l'ED ou encore f est solution de l'ED ==> f"' = f"
donc on détermine les solutions de y"' = y" puis on prend celles qui conviennent
...
Ouaip.
Merci tout l'monde pour l'aide apportée.
Bonsoir,
1°)Ce problème peut sembler difficile pour une terminale.
2°)En terme d'opérateur différentiel ,nous avons une commutativité:
Alain
Bon dimanche,
Je corrige:
Nous n'avons pas commutativité de l'opérateur ,la dérivation de l'équation correspond à
Alain
Bonsoir,
Je m'intéresse souvent à la base de construction d'un énoncé ;en un mot
d'où l'auteur est-il parti?
Mon propos ici s'adressait plutôt à carpediem et à alb12.
D'autre part,je continue à penser que le problème est pour un élève
de terminale difficile et la portée du résultat peu accessible.
(une dérivation simplifie l'équation!)
Alain
si on rectifie l'enonce initial c'est pas tres complique
cependant il faut savoir resoudre y'=y ce qui n'est plus au programme.
Bah j'ai donné l'énoncé au début. Comme vous l'avez démontré il contient une erreur. (il y'a une implication mais pas d'équivalence)
Et oui si on se tient au programme on ne fait pas grand chose. C'est pourquoi je me suis permis depuis ma première d'acquérir quelques notions qui ne sont plus au programme. D'ailleurs, on ne nous donnerait jamais un exercice comme celui ci au lycee
exercice au demeurant tres interessant.
Le bons eleves ne vont pas tarder à venir en cours avec des exercices un peu serieux.
Les autres auront tous au minimum un bts.
Auront-ils tous du travail convenablement remunere ?
Bonjour,
Je ne lierais pas automatiquement intérêt , travail dans une matière
et débouché professionnel;la découverte peut être une source de grandes satisfactions.
Oui, l'exercice est très intéressant,sa traduction en termes d'opérateur
est très éclairante.
En quelques mots:
l'opérateur correspond aux transformations subies par la fonction:
Si tu écris ,tu obtiens:
Nota:
D pour d/dx , Id opérateur neutre: Id o (f)= f , Id o D = D o Id = D Id o Id =Id
...
Alain
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