Bonjour !

J'aurai besoin d'un peu d'aide pour la résolution d'une équation du 4e degré. Je fini toujours par être coincé :/

Je vous donne l'équation et ce que j'ai fait :
                            
                                           x⁴ + 3x³ - 12x + 9/4 = 0   (E)

Je commence par essayer de supprimer le terme de 3e degré en posant y = x + 3/4

(y - 3/4)⁴ + 3(y - 3/4)³ - 12(y - 3/4) + 9/4 = 0

Après développement, je trouve :

y⁴ - 27y²/8 - 69y/8 + 2637/256 = 0

Je pose ensuite : y⁴ = (y²+t)² - 2ty² - t²   avec t un paramètre réel ou complexe.

En remplaçant le y à la puissance 4 :

(y²+t)² = y²(2t+27/8)+69y/8 - 2637/256 + t²

J'appelle (E') le membre de droite. On remarque de E' est une equation paramétrique du second degré. A gauche, on a un carré. E' est aussi un carré si son discriminant est nul, on cherche donc t tel que le discriminant de E' soit nul :

Soit ₁ le discriminant de E'

₁ = (69/8)² - 4(2t + 27/8)(t²-2637/256)

₁ = t³ + 27t²/16-2637t/256 - 109287/4096.

J'ai donc une équation du 3e degré. J'applique la méthode de Cardan, pour cela, j'ai besoin de supprimé le terme de second degré. Je pose donc z = t - 27/3*16  = t - 9/16
Après quelques développements :
₁ = z^3 - (45 z)/4 - 657/32

Je pose z = u + v

z³-(45 z)/4-657/32  = (u^{3 + v[sup]3}[/sup]- 45(u+v)/4 -657/32
z³-(45 z)/4-657/32  = u³ + 3u²v + 3uv² - 45(u+v)/4 -657/32

On factorise :

₁ = z^3-(45 z)/4-657/32  = u³ + v³ - (3uv - 45/4)(u+v) + 657/32

On cherche z tel que₁ soit nul, donc :
u³ + v³ - (3uv - 45/4)(u+v) + 657/32 = 0


On pose alors : 3uv - 45/4 = 0

On obtient le système :

{  u³ + v³ + 657/32 = 0
{ (3uv - 45/4) = 0

{  u³ + v³ + 657/32 = 0
{  (uv)³ = (45/12)³

Si u³ et v³ sont les racines d'un polynôme du second degré, alors u³ + v³ = -b/a et u³v³ = c/a

On pose a = 1; donc b = 657/32  et c = (45/12)³
Ce polynôme est donc : w² + 657w/32 + (45/12)³

Soit ₂ le discriminant de ce polynôme. Les racines de ce polynôme sont u³ et v³, or z = u + v, trouver les racines de ce polynôme permet donc de trouver la valeur du paramètre t pour lequel ₁ est nul.

₂ = (657/32)² - 4(45/12)^3
₂ = 431649/1024 - 3375/16
₂ = 215649/1024

Le polynôme admet deux solutions réelles :

w₁ = 3/64 (219+7) = u³   17.521566
w₂ = 3/64 (219-7) = v³   3.009684

Donc :

u = (3/64 (219+7))^(1/3)
v = (3/64 (219-7))^(1/3)

z = (3/64 (219+7))^(1/3) + (3/64 (219-7))^(1/3)

t = (3/64 (219+7))^(1/3) + (3/64 (219-7))^(1/3) + 9/16       4.603613

Par chance, t est positif. Jusqu'ici, je suis presque sûr d'avoir juste. C'est ici que je plante :

On revient à la dernière expression de (E) :

(y²+t)² = y²(2t+27/8)+69y/8 - 2637/256 + t²

On factorise par (2t+27/8) :


(y²+t)² = (2t+27/8)[y² + 69y/(8((2t+27/8)) + (-2637 + 256t²)/(256((2t+27/8))]


(y²+t)² = (2t+27/8)[y² + 69y/(16t+27) + (-2637 + 256t²)/(512t+864)]

On sait que le membre de droite a un discriminant nul, donc forme une identité remarquable :

[y² + 69y/(16t+27) + (-2637 + 256t²)/(512t+864)]
[a² + 2ab          +  b²

Par identification, on trouve

a² = y² a = y ou -a = -y (mais comme on ne connait pas le signe de y, on s'en moque)
2ab = 69y/(16t+27) b = 69/(32t+54)
b² = (-2637 + 256t²)/(512t+864)    --> là est le problème, en remplaçant par la valeur de t (je vous laisse imaginer la galère), je ne trouve pas la même chose ><

Quelqu'un peut-il me dire où je me suis trompé ? Il est possible que la calculatrice se soit plantée en approximant (l'écart entre les deux valeurs de b est de l'ordre de 0.9) ?

Merci d'avance.
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