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équation fonctionnelle ?
Bonjour,
je bloque sur le début d'un exercice de DM.
On a E l'ensemble des application f : [0,
[ -> 
continues.
Et G l'ensemble des applications de E vérifiant la relation : 
x 
[0,[ f(x3) = f(x).
Il s'agit de montrer que G est un sous espace vectoriel de E et de determiner ses élements. J'ai donc d'abord montrer que G est un SEV de E de la manière suivante :
- 0E(x3) = 0E(x) donc 0E G
- Soit (a,b)
Soit (f,g) G
(af+bg)(x) = af(x) + bg(x) = af(x3) + bg(x3) = (af+bg)(x3)
donc af + bg G
Donc G sev de E.
Est-ce correct ?
Pour déterminer les élements de G il faudrait trouver une famille génératrice mais c'est impossible directement non ? Il faut résoudre l'équation fonctionnelle f(x[sup]3[sup])=f(x) non ? Si oui, comment procéder, car je ne vois pas.
Merci et bonne journée
Essaye de montrer déjà que tout f est constant.
Soit x non nul
f(x)=lim n->oo f(x^(1/3^n))=f(1) car f continue en 1.
Donc f est constante égale à f(1) quand x est non nul.
Essaye de montrer que f(0)=f(1) en utilisant par exemple f(1/2) avec 2 suites qui convergent soit vers 1 soit vers 0.
Enfin c'est l'idée. Après peut-être il faudrait distinguer des cas quand x négatif et tout.
Bonjour,
sur [0;1[, tu as aussi f(x)=f(x3^n) et quand n tend vers l'infini, tu vois que f(x)=f(0) par continuité.
sur [1;+[, la méthode de Dryss te montre que f est constante égale à f(1)...
par continuité, on a donc f constante sur [0;+[
et le cas des x négatifs ne se pose même pas (hors-sujet)
MM
Oui je sentais bien que les solutions étaient les fonctions constantes. Mais je ne comprend pas comment tu peux dire que : f(x)=lim n->oo f(x^(1/3^n)) ?
Pour montrer que G SEV de E il fallait bien juste montrer ce que j'ai fais ?
Merci beaucoup de m'aider
Oui, ta démonstration de "sev" est juste.
tu es d'accord que pour tout x>=0 et pour tout n>=1, ?
cela peut se démontrer par récurrence sur n.
En remplaçant ensuite x par
tu obtiens
MM
Ouki j'ai compris le fonctionnement de la chose. Il me reste donc à montrer que f(0) = f(1) ou il suffit de montrer que la fonction est nécessairement constante sur les intervalles [0,1[ et [1, oo[ ?
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