ton equation se réecrit e^(n*ln(n)) = a
     en passant au log neperien on obtient
                          

                      n*ln(n)-ln(a) = 0  (a>0  bien sûr)
         donc je te propose d'etudier la fonction
                                                   x--> x*ln(x) - a
ok
                    
                          

etudie les variations de  la fonction x--> xln(x) - ln(a) sur R+
ok c'est sympathique!

Bonsoir !

il travail dans N !


il est assez facile de voir si un entier k donné s'écrit a^b pour certain a et b entiers, par exemple en regardant la décomposition en facteur premier de n : k peut s'ecrire comme a^b si et seulement si tous les exposants sont divisible par b...

donc tu prend ton entier a, tu regarde si c'est une puissance d'entier et si c'est le cas tu as qu'un petit nombre de possibilité à tester.

(en revanche... si tu espere des formules de résolution, ne rêve pas trop : l'equation n'as de solutions que pour tres peu de valeur de a : seulement 1, 4, 27, 256, 15625, "va falloir une calculatrice pour le suivant".

oui mais si il trouve les solutions sur R+ ; alors a fortiori il les trouvera sur N !
tu en penses quoi

Après reflexion ,  comme xln(x) - a est croissante en l'infini on a d'apres le theoreme des valeurs intermediaires l'existence d'un unique x0 (réel pas forcément naturel) (avec a donné)

donc ce tu dis est plausible
mais c'est quoi alors la solution.

oui mais si il trouve les solutions sur R+ ; alors a fortiori il les trouvera sur N ! >>> Sauf qu'il n'y a pas de forme clause pour les solutions : elle s'exprime grace à une obscure fonction spécial (Lambert W ou qqch comme ca )

merci a tous vos reponse. mais en fait je voudrais savoir s'il y a une methode (pas graphique) sans essai. (peut etre en utilisant les outils arithmetiques)

Honetement, on pourrai rafiner un peu la methode que j'ai donné pour qu'il y ai pas "d'essai" comme tu dis. mais je vois vraiment pas à quoi ca pourait servir :

il y a tellement peu de nombre de la forme n^n que ca n'as aucun sens de vouloir avoir un algoritme pour les reconnaitre : ils sont tres grand donc toute manipulation dessus est couteuse en temps (... je parle meme pas d'une décomposition en facteur premier) alors qu'il suffit juste de regarder les premier valeur de n^n pour voir si il y en a une qui coincident (on peut rafiner pour faire cela dichotomiquement à la limite...)


si cette methode ne te conviens pas, il va falloir expliquer plus précisement de quoi tu as bessoin.

Bonsoir à tous
La raison pour laquelle je cherche un algoithme c'est que mon ami m'a donne trois jours pour ceci, il dit qu'il a résolu ce problème.
j'ai pensé à prendre le PGCD des exposants des facteurs premiers de la decomposition de a et de comparer avec x où a= x^pgcd des exposant mais selon lui la démonstration de son algorithme a pris 4 ou 5 pages. j'espère trouver un algorithme plus efficace.
En tout cas merci beaucoup.

Si ton algoritme utilise la décomposition en facteur premier, alors l'algoritme suivant est tres largement plus performant :

n<-1
t<-1
tant que t<a fait :
{
n<-n+1
t<-n^n
}

si t=a renvoi n sinon pas de solution.


la compléxité (ie le temps de calcule moyen) de l'algotime est en n.log(n) (à condition d'utiliser l'exponentiation rapide pour calcule n^n, sinon ca passe à n² )
alors que rien que le calcul de la décomposition en facteur premier de a est au mieux que l'on sait faire aujourd'hui (en utilisant des algorithmes nettement plus compliqué à base de courbe elliptique ou des choses comme ca) en exp(c*racine(log(a)).
soit déja plus grand que exp(c.sqrt(n)) c'est tellement plus grand que la comparaison n'est meme pas imaginable : pour un a un peu grand le petit algorithme stupide que je propose mettra quelques secondes alors que rien que la décomposition en facteur premier de a aura besoin de plusieurs siècles en utilisant toute la puissance de calcule disponible sur terre pour aboutir (c'est par exemple le cas pour le a correspondant à un n entre 300 et 400 je dirais... )

à mon avi, la seul chose qui pourrait donner un résultat plus pertinent que ca, c'est soit de procéder par dichotomie (on passerait à une compléxité en log(n)^2 ) soit de trouver une aproximation assez bonne de la fonction LambertW pour des grand argument pour qu'on puisse isoler "le seul n raisonable" numériquement (la tous dépend de la compléxité de l'approximation... ca dépasse largement mes compétence )

ksilver , juste pour savoir, tu suis quelles etudes exactement? t en quelle année?
merci de ta reponse

je suis à l'ENS, je viens de passer l'agregation et une moitié de M2 (en algèbre et géométrie).

alors tu as été admissible et admis? (à l'agreg)

oui

il n'existe pas de formules pour resoudre cette equation car l'exposant en lui meme est une variable qui dépend de n.Toutefois, il serait mieux de trouver les points d'intersections entre la courbe ln(n) et la droite n/ln(a)