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équation polynômiale

Posté par
Parano 20-03-09 à 16:15

Bonjour,

J'ai un petit problème pour conclure sur un exercice.
Il s'agit de trouver les réels a,b,c et d tels que pour tout P [X]
0 P(cos()d= (P(a) + P(b) + P(c))/d

Les questions m'ont ammenées à trouver les polynômes T0, T1, T2, T3 tels que Tk(cos())=cos(k) pour tout . (ce sont les polynômes de Tchebytchev)

J'ai ensuité montré que la famille (T0, T1, T2, T3) est une base de 3[X]. Jusque là ça va. La prochaine question m'invite à conclure mais je ne vois pas en quoi je peux conclure à partir de ce que j'ai montré..

Merci !

Posté par
Camélia Correcteurre : équation polynômiale 20-03-09 à 16:16

Bonjour

Ecris P sur la base (T)

Posté par
Paranore : équation polynômiale 20-03-09 à 16:24

Comment faire ?

J'ai montré que pour tout polynôme de degré 3 tel que P = a0 + a1X + a2X²+a3X3 peut s'écrire dans la base (T) comme ceci :

P = (a0+a2/2)*T0 + (a1 + 3a3/4)*T1 + a2/2*T2 + a3/4*T3

Posté par
Camélia Correcteurre : équation polynômiale 20-03-09 à 16:34

Désolée, j'ai mal lu... On veut a,b,c,d les mêmes pour n'importe quel polynôme de n'importe quel degré?

Ce qui est sur, c'est que (T_0,...,T_n) est une base de R_n(X).

Un polynôme P de degré n s'écrit donc
P(X)=\alpha_0T_0+...+\alpha_nT_n et donc
P(cos(t))=\alpha_0+\alpha_1\cos(t)+...+\alpha_ncos(nt)

et ça se calcule! Mais je ne vois pas trop la fin...

Posté par
Paranore : équation polynômiale 20-03-09 à 16:36

Non la question se limite au degré 3, j'ai oublié le mettre le 3 en indice, désolé.

Mais je ne vois pas le lien entre la question même et le fait de m'avoir fait montrer que la famille (T0,T1,T2,T3) est une base des polynômes de degré 3.

Merci pour ton aide quand même !

Posté par
Camélia Correcteurre : équation polynômiale 20-03-09 à 16:45

Ah bon!

Si P=\alpha_0T_0+\alpha_1T_1+\alpha_2T_2+\alpha_3T_3 (cette écriture vient bien du fait que les T forment une base,

\int_0^{\pi}P(cos(t))dt=\int_0^\pi(\alpha_0+\alpha_1\cos(t)+\alpha_2\cos(2t)+\alpha_3\cos(3t))dt=\pi\alpha_0

Reste à voir si dans les questions précédentes pour trouver \alpha_0 tu ne l'as pas obtenu sous la forme P(a)+P(b)+P(c)

Posté par
Paranore : équation polynômiale 20-03-09 à 19:28

Je suis d'accord avec ce que tu as écris.

Il faudrait donc résoudre Pi*a0 = P(a) + P(b) + P(c) / d. Mais je n'ai pas a0 sous la forme P(a) + P(b) + P(c). J'ai tenté de développer P(a), P(b), P(c) dans la base (T0,T1,T2,T3) mais ça donne un truc vraiment compliqué..

Posté par
Paranore : équation polynômiale 20-03-09 à 21:21

C'est bon j'ai réussi. Il fallait bien développer P(a) etc dans la base T0,T1,T2,T3 on obtient ensuite un système symétrique à résoudre qui nous donne les valeurs voulues.

Merci Camélia pour tes indications.


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