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équations complexes
Bonjour à tous, j'essaie de faire un exercice depuis plusieurs jours sans succès, je suis vraiment bloquée.
L'énoncé est le suivant :
z un complexe, résoudre l'équation :
z^5 = z- conjugué de z
J'ai essayé en disant que z^5 = 2 i*Im(z), sans succès, je tombe sur une équation en sin(Q) et cos (Q), Q argument de z) : j'ai des plusieurs valeurs pour Q données par l'équation du cos Q mais pour les sin j'ai l'équation ; 5cos^4 Q -10 cos^3(Q)son(Q) - 10 cos^2 + sin ^4Q = 0
Quand je la mets toute en sin Q grâce à sin^2 = 1 -cos^2 Q ça donne un truc pire.
Je sais vraiment plsu quoi faire, quelqu'un n'aurait pas une idée ?
Merci d'avance.
bonjour
une condition nécessaire pour que ton équation soit vérifiée est que z soit une racine 5ième d'un imaginaire pur...
z5 = a*exp(i*pi/2) ou a*exp(-i* pi/2) avec a réel positif
donc du type z = b*exp(i*pi/10 + k*pi/5)
cela doit te donner comme éventualités ...
b4=2*(-1)k*sin(pi/10 + k*pi/5)
avec k prenant les valeurs entières de 0 à 9
comment passes-tu de
z^5 = a*exp(i*pi/2) ou a*exp(-i* pi/2) avec a réel positif
à
donc du type z = b*exp(i*pi/10 + k*pi/5)
?
sans oublier que b est positif... donc certaines possibilités sont à éliminer suivant le signe ddu sinus et la parité de k
seule valeurs à retenir : k=0 ; k=2 et k=4 pour les cas sinus positifs
et k = 5 ; 7 ou 9 pour les cas sinus négatif
sachant qu'en plus sin(pi-u)=sin(u) et sin(-u)=-sin(u)
on retient comme solutions différentes pour b : k=0 et k=2
c'est à dire b=racine quatrième de (2*sin(pi/10)) ou b=racine quatrième de 2
remarque : ayant divisé par b, n'oublions pas aussi la solution triviale b=0
d'où les solutions éventuelles :
z=0
z=(2sin(pi/10)1/4exp(i*(pi/10)+k*pi/5) avec k
{0;4;5;9}
z=21/4*i cela est les cas k=2
z=-21/4*i cela est les cas k=7
reste à voir si elles fonctionnent !
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