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équations du troisième et quatrième degré
bonjour,
j'ai un DM à faire et je n'arrive pas à démarrer un des problèmes. Voici l'énoncé:
Partie1:
1) On considère l'équation dans C: (1) z^3+az²+bz+c=0 avec a,b et c réels.
a) Montrer que si z est solution de (1) alors son conjugué aussi.
b)Montrer qu'il existe un réel 
tel qu'en posant Z=z+, la résolution de (1) soit équivalente à la résolution d'un équation de la forme: (2) Z^3+pZ+q=0 avec p et q réels.
2)a) Soit Z est solution de (2). Montrer qu'il existe deux complexes u et v tels que u+v=Z et uv=-p/3
b)Montrer que u^3 et v^3 sont solutions de X²+qX-p^3/27=0
c)On considère réciproquement les solutions Z1 et Z2 de X²+qX-p^3/27=0
*Déterminer si u est racine cubique de Z1 toutes les autres racines cubiques de Z1
*Montrer que l'on peut trouver une racine cubique u de Z1 et une racine cubique v de Z2 telles que uv=-p/3
*En déduire l'expression des solutions de l'équation (2) en foncton de u et v
d)On appelle discriminant de (2) le réel 
=4p^3+27q². A l'aide de la question précédente, discuter le nombre de solutions réelle de (2) en fonction du signe de
Voilà . Est ce que quelqu'un pourrait m'aider à démarrer? est ce que je dois remplacer z par x+iy et voir ce que ça fait avec x-iy ?
Merci
Bonjour,
z^3+az²+bz+c=0 
=
, puis applique les propriétés sur les conjugués en tenant compte de a, b, c réels càd que
= a
merci c'était tout simple en fait j'aurais dû y penser...
donc après utilisation des propriétés on obtient ^3+a
²+b
+c=0 donc
est solution
pour la question 1b), j'ai remplacé dans l'équation z par Z+. C'est comme ça qu'il faut faire?
je me suis trompée en recopiant , il faut remplacer par z=Z- puisque Z=z+.
Après développement et factorisation, je trouve Z^3+Z²(-3+a)+Z(3²-2a-b-)-^3+a²+c=0
est ce que je peux en déduire que comme les Z² doivent disparaitre alors =a/3 ?
oui je l'ai fait.
pour la 2a) j'ai posé Z=u+v donc si c'est solution on obtient en remplaçant dans l'équation (2) u^3+v^3+(u+v)(3uv+p)+q=0 et la je sais pas comment montrer que uv=-p/3. Pour ça il faudrait que 3uv+p=0 mais comment le prouver?
un petit rappel (facile à prouver)
si x1 et x2 sont les racines de x²+mx+n=0 x1 + x2 = -m et x1 
x2 = n
oui je sais pour un polynôme du second degré. Mais là on a Z^3+pZ+q =0 et on a que une solution:Z=u+v... Je suis perdu...
on te donne deux nombres Z et -p/3 et ils sont la somme et le produit de deux autres u et v .... ben u et v existent ....
ok merci donc il n'y a a rien à prouver? Il suffit de dire que comme on connait le produit et la somme de u et v ils existent??
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