Bonjour.

Tu remarques que les trois vecteurs que tu donnes sont colinéaires. En effet, si l'on appelle U, V, W ces trois vecteurs colonnes, alors, U = 2V et W = -3V.

Ceci prouve que U, V, W sont sur une même droite vectorielle (D) de direction U, ou V, ou W. Je prends comme direction de cette droite, le vecteur D(0,1,1).

Si X(x,y,z) est un vecteur quelconque de (D), tu auras X = k.D, k € IR.

Donc, cela te donne une équation paramétrique de (D) :

x = 0
y = k
z = k

Si tu veux maintenant une équation cartésienne de (D), tu dois l'écrire comme intersection de deux plans non parallèles.
La forme de l'équation paramétrique donne de suite :

x = 0
y = z

merci d'abord à toi de me repondre. mais, je comprend pas trop la methode que t'as fais, car à vrai dire on n'a pas fait encore les equations des droites ey des plans. mais j'aimrais bien savoir comment peut-on trouver les equa cartésiennes et parametriques à partir d'un systeme linéaire. je veux une méthode pratique s'il vous plait car je m'y blopque vraiment.

amicalement

Tu es obligée de connaître l'équation cartésienne d'un plan vectoriel (sous espace de dimension 2 dans un espace de dimension 3). Tu as vu cela en première ou terminale.

Méthode générale :

on cherche le rang des trois vecteurs colonnes U, V, W de la matrice, c'est-à-dire la dimension du sous-espace F engendré par (U,V,W). On écrit F = Vec(U,V,W).

Si le rang est 3, Vec(U,V,W) = IR³

Si le rang est 2, Vec(U,V,W) est un plan vectoriel P. Une équation cartésienne sera du type ax + by + cz = 0

Si le rang est 1, Vec(U,V,W) est une droite vectorielle D. Cette droite est engendrée par l'un des trois vecteurs U,V,W pourvu qu'il soit non nul. Si (a,b,c) sont les coordonnées d'un vecteur directeur de D, une équation paramétrique de D sera :
x = k.a
y = k.b
z = k.c

merci enormement raymond.
mais par exemple dans cet exo, on peut ecrire ce s e v sous forme de:
AX=0, ou A est la matrice de colones composés des vecteurs déjà mentionnées, et X une matrice colone des inconnus x,y et z.
ce que j'ai fait moi c'est d'abord echelonner la matrices A en fesant les opérations élémentaires sur les lignes, j'ai obtenu par suite une matrice dont la 1ére et la 3éme lignes sont nulles et la deuxième est comme suit  
-1 -1/2 3/2
j'ai multiplié ensuite cette ligne par la matrice X et j'ai obtenue l'équation x+1/2Y-3/2Z=0 apparement cela est faux mais je ne sais pas ou réside exctement l'erreur. peut tu me l'indiquer?
merci d'avance.

Je pense que je ne t'apprends rien en te disant que cette matrice A est la représentation d'un endomorphisme f de IR³.

Lorsque tu cherches le sous-espace engendré par les trois colonnes, tu cherches Im(f)

Lorsque tu cherches le sous espace des vecteurs X tels que A.X = O, tu cherches Ker(f).

Il est donc normal que tu ne trouves pas le même résultat.

Im(f) = Vec(U), U(0,1,1) : sous-espace de dimension 1 (droite vectorielle).

Ker(f) = {X(x,y,z), -x + (1/2)y - (3/2)z = 0} : sous-espace de dimension 2 (plan vectoriel).

Tu dois savoir que dim(Im(f)) + dim(Ker(f) = dim(E), ce qui se confirme bien ici.

merci encore une fois raymond. mais le probleme c'est que on n'a pas encore étudier l'endomorphisme et les ker(f) et im(f), mais ce n'est pas grave, merci en tout cas.

Bonne fin de soirée.

RR.