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équivalence polynome et racines

Posté par
robby3 23-12-08 à 13:46

Bonjour tout le monde,
je dois montrer que pour P(X) un polynome unitaire,à coefficients réels et scindé sur R j'ai équivalence entre:

i)tous les coefficients de P(X) sont positifs ou nuls
ii)toutes les racines de P(X) sont négatives ou nulles


bien sur j'ai montrer i=>ii
le probleme c'est ii)=>i)
j'ai essayer les relations entre coefficients et racines,mais vu qu'on ne connait pas le nombre de racines,ni le degré de P, je n'arrive à rien...

avez-vous une idée?

Posté par
Rodrigore : équivalence polynome et racines 23-12-08 à 13:56

Bonjour,
oui les relations coeff racines te permettront de conclure...

Posté par
infophilere : équivalence polynome et racines 23-12-08 à 14:01

Bonjour

oui c'est une bonne idée, applique (-1)^kc_k=\bigprod_{i_1<...<i_k}a_{i_1}...a_{i_k} avec c_k coefficients et a_k racines.

Posté par
robby3re : équivalence polynome et racines 23-12-08 à 14:05

Bonjour à vous deux et bonnes fetes

justement infophile!
mon soucis c'était ce (-1)^k...
parce que le produit de racines négatives n'est positif que si c'est un produit pair...
imagine qu'il y ait 2n+1 racines dans P(X)...ça fait tout capoter non?

Posté par
infophilere : équivalence polynome et racines 23-12-08 à 14:36

Non, tu prends les -a_{i_k} qui sont positifs, et tu as donc (-1)^k devant le produit, qui s'élimine avec celui du membre de gauche. Il ne reste plus que des termes positifs donc c_k positif.

Bonnes fêtes à vous aussi

Posté par
robby3re : équivalence polynome et racines 23-12-08 à 15:42

ah oué! pfff
désolé!
Merci !

Posté par
infophilere : équivalence polynome et racines 23-12-08 à 16:06

Je t'en prie


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