Bonjour

x dans Ker(f) signifie f(x) = 0, donc forcément f²(x) = f(f(x)) = f(0) = 0 ...
y dans Im(f²) signifie qu'il existe un x tel que y = f²(x) = f(f(x)) = f(z) si z = f(x)

Bonjour.

Veuillez m'excuser, mais je n'arrive pas à voir où vous voulez en venir

Ce que j'ai compris de votre raisonnement, c'est que :

vous avez prouvé qu'on a toujours Ker(f) Ker(f²)

vous avez prouvé qu'on a toujours Im(f) Im(f²)


Mais si en faisant cela vous avez aussi prouvé qu'on a la réciproque, je n'ai pas compris comment

Pouvez-vous m'éclairer sur le sujet ?

En vous remerciant.

Bonne journée.

je t'ai montré qu'on a toujours Ker(f) contenu dans Ker(f²), et toujours Im(f²) contenu dans Im(f)...
Si on doit montrer l'égalité, il ne reste que l'inclusion réciproque à établir

Rebonjour.

Et bien oui, c'est justement la réciproque que je cherche à établir, car j'avais déjà réussi à prouver l'inclusion dans ce sens.

Comment puis-je prouver la réciproque ? J'ai essayé de faire de la même manière mais je ne suis pas convaincu que ce soit très juste.

En fait, ce que je cherche à voir, c'est si les inclusions suivantes sont vraies :

Ker(f) Ker(f²) Ker(f) Ker(f²)

Im(f) Im(f²) Im(f) Im(f²)

En vous remerciant.

Bonne journée.

c'est une conséquence immédiate de ton premier résultat (dans ton post initial)

Rebonjour.

Je ne comprends toujours pas.

La seule chose que je cherche à savoir, c'est :

Question 1
Est-ce que   (Ker(f)⊕Im(f) = E)    (Ker(f)Ker(f²))   si on sait juste que   Ker(f)Ker(f²)  sans savoir si la réciproque est vraie ou pas vraie ?

Question 2
Est-ce que   (Ker(f)⊕Im(f) = E)    (Im(f)Im(f²))   si on sait juste que   Im(f)Im(f²)  sans savoir si la réciproque est vraie ou pas vraie ?


Je suis d'accord que si la réciproque est vraie, l'équivalence est nécessairement vérifiée.

Et c'est pour ça que je me dis que, si j'arrive à prouver que :

(Ker(f)Ker(f²))    (Ker(f)Ker(f²))

(Im(f)Im(f²))    (Im(f)Im(f²))


c'est gagné, car cela signifierait alors que :

Ker(f) = Ker(f²)

Im(f) = Im(f²)


Et comme on sait que   (Ker(f)⊕Im(f) = E)    (Ker(f) = Ker(f²))    (Im(f) = Im(f²))  , le tour est joué.


Si votre aide répondait aux Question 1 et Question 2, je vous prie de m'excusez, mais je n'ai pas compris comment (j'ai encore des lacunes sur l'algèbre linéaire )

Merci de votre aide.

Bonne journée.

Bonjour.

Quelqu'un pourrait-il m'aider en me donnant son avis sur la question ?

En vous remerciant.

Bonne journée.

rebonjour
si tu sais déjà que la somme directe entre Ker et Im équivaut à l'égalité Ker(f) = Ker(f²), tu sais que ça équivaut aussi à Ker(f²) contenu dans Kerf(f) (puisque l'autre inclusion est toujours vraie)

idem : si tu sais déjà que la somme directe entre Ker et Im équivaut à l'égalité Im(f) = Im(f²), tu sais que ça équivaut aussi à Im(f) contenu dans Im(f²) (puisque l'autre inclusion est toujours vraie)

Bonjour.

Tout d'abord, bonne année à tous

Pour ma question, en fait, je ne pars d'aucune hypothèse, je me demande juste, en gros, si :

(Ker(f) Ker(f²))        (Ker(f)⊕Im(f) = E)          (i)

(Im(f) Im(f²))        (Ker(f)⊕Im(f) = E)            (ii)


Et personnellement, je ne suis toujours pas convaincu.

Pour (i), je dirais que c'est faux car pour que ça soit vrai, il faudrait qu'on ait en plus   Ker(f) Ker(f²), ce qui n'est à mon avis pas toujours le cas (mais pourriez-vous m'aider à le montrer ?).

Pour (ii), je pense que c'est vrai, étant donné qu'on a toujours   Im(f) Im(f²), reste plus qu'à montré que c'est OK pour notre cas, ie pour   Im(f) Im(f²)


Qu'en pensez-vous ?

En vous remerciant.

Bonne journée.