Bonsoir,

Pour montrer que si dim A = dim B alors toute base de A est aussi base de B:
Tu supposes que dim A = n = dim B
On pose =(e1,...,en) une base de A
Or, comme dim B = n, engendre B, et comme est base de A, est une famille libre, donc est une base de B
cqfd

Pour la deuxième partie, on suppose que dim A = dim B
On prend xB, on pose une base de B
alors x=_i=1ⁿa_ix_i
Or dim A = dim B donc, base de A
d'où x se décomposant dans une base de A, on peut dire que xA
Donc BA
On a B=A (la première inclusion était donnée)

Voilà, t'es d'accord?

je ne comprends pas du tout désolée ^^ ( je suis vraiment nulle en maths)

C'est pas grave, c'est où que ça bloque? dans ce que j'ai écrit

un peu tout mais déja des le depart je ne comprend pas ce que c'est que Beta et la conclusion du 1)

En fait, on veut montrer que si on prend une base de A, alors c'est aussi une base de B
Donc, on commence par prendre une base quelconque de A, que j'ai nommé ,
et après, on montre que cette base est aussi une base de B
Pour montrer cela, j'ai utilisé la propriété d'une base: une famille de vecteurs est une base si et seulement si la famille est génératrice et libre.
Et on conclut que est base de B aussi

mais comment on fait pour savoir si elle est libre et génératrice ?

Pour savoir qu'elle est génératrice, il faut regarder sa dimension, ici c'est n
et comme on a dim A = dim B = n, on peut dire qu'elle est génératrice
Et elle est libre, parce que c'est une base de A