(re)bonsoir

la notion de liberté est absolue ! si on est libre dans A, on l'est dans tout sur-espace vectoriel

par contre la notion de "genératrice" est relative... on peut engendré un sev et ne pas engendré un truc plus gros (par exemple 1 vecteur engendre une droite, mais ne suffit pas à engendré un plan qui contient cette droite)

Bonjour,
(vieille formule de politesse, toujours en vigueur sur l'île...)

considérons une base de A
est elle obligatoirement une famille libre de A ?  j'ai dit oui ---> tu as raison
est elle obligatoirement une famille libre de B? ---> oui
est elle obligatoirement une famille génératrice de A ? j'ai dit oui ---> tu as raison
est elle obligatoirement une famille génératrice de B? ---> non, pas si A est strictement inclus dans B
Si dim(A) = n, choisissons une base de A : {x₁, x₂,...x_n}
Si A est strictement inclus dans B, il existe y B, tel que y A. y ne peut donc être combinaison linéaire des {x₁, x₂,...x_n} de la base de A. Donc la famille {x₁, x₂,...x_n ; y} sera une famille libre de B. Donc la dimension de B est la dimension de la famille {x₁, x₂,...x_n ; y}, soit n+1
Donc 2 cas  possibles d'inclusion :
A = B, dimA = dim B
A B et A B, dim A < dim B
et finalement, en regroupant les deux :
dim A dim B

MatheuxMatou a dit :

Bonsoir.

A et B deux sev de dimensions finies de E, tels que A B.

Considérons une base de A.

a°) est elle obligatoirement une famille libre de A ?
oui : par définition

b°) est elle obligatoirement une famille libre de B ?
Soit une base de A.
Comme A B, est une partie de B
L'indépendance se traduit par :
Ce qui signifie que est libre dans B.

c°) est elle obligatoirement une famille génératrice de A ?
oui : par définition.

d°) est elle obligatoirement une famille génératrice de B ?
On sait que tout élément de A s'exprime comme combinaison linéaire des éléments de . Par contre, bien que soit une partie libre de B, on ne peut pas dire que tout élément de B s'exprime sur .

e°) en deduire que dim A inférieur ou égale à dim B
¤ Si tout élément de B s'exprime comme combinaison linéaire des éléments de , alors, est aussi une base de B et dim(A) = dim(B)
¤ S'il existe au moins un vecteur b de B qui ne s'exprime pas comme combinaison linéaire d'éléments de , cela signifie que {b} est libre.
Donc, dim(B) 1 + dim(A)

(LeHibou : dans tous les pays du monde on a la liberté d'expression... mais ce n'est que dans une vraie démocratie qu'on reste libre après s'être exprimé !)

MateuxMatou : attention, on ne sait pas QUI surveille ce site... :D

Un grand moment de Bonheur en ex URSS :

pouvoir dire au KGB : "non, Mr. Ivanovich, c'est l'étage du dessus"

Coluche.

Dialogue :
- On ne t'a pas vu à la dernière réunion du Parti
- Si j'avais su que ce serait la dernière, je serais venu
Et hop, 20 ans de Goulag...

Bonjour linda23 , j'ai exactement le même énoncé en eco gestion etc.. ( je mettrais ma main au feu que tu es de ps sud..)

En tout cas ce post m'aide beaucoup

oui

tu es un garçon?