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Espace affine
Voilà j'ai prochainement un examen, et j'aimerais faire cet exercice mais je n'y arrive absolument pas.
L'espace affine euclidien E = R3 est muni de son rep`ere canonique (O,−"i ,−"j ,−"k );
on consid`ere la quadrique Q d'´equation:
2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy − 2yz − 2xz − 4x + 2y + 2z − 1 = 0
1. On consid`ere le plan P d'´equation z = 0 et la conique C = Q % P.
a) Ecrire l'´equation de C.
b) Quelle est la matrice sym´etrique 2 × 2 A qui repr´esente les termes de degr´e
2 de l'´equation de C?
c) Calculer valeurs propres et vecteurs propres de A. En d´eduire que C est une
ellipse.
d) D´eterminer une nouvelle base orthonorm´ee (−"I ,−"J ) de P faite de vecteurs
propres. Ecrire la matrice de changement de base et l'´equation de C dans les
nouvelles coordonn´ees X et Y associ´ees `a cette nouvelle base.
e) Montrer que le centre # de C a pour coordonn´ees x = 1, y = 0 (et z = 0).
f) Donner des ´equations des axes de sym´etrie de C.
Pouvez-vous m'aidez ?
Bonjour
si ton énoncé était lisible, on pourrait t'aider, oui ....
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L'espace affine euclidien E = R3 est muni de son repère canonique (O,−>i ,−>j ,−>k );
on considère la quadrique Q d'équation: 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy − 2yz − 2xz − 4x + 2y + 2z − 1 = 0
1. On considère le plan P d´équation z = 0 et la conique C = Q % P.
a) Écrire l'équation de C.
b) Quelle est la matrice symétrique 2 × 2 A qui représente les termes de degré
2 de l'équation de C?
c) Calculer valeurs propres et vecteurs propres de A. En déduire que C est une
ellipse.
d) Déterminer une nouvelle base orthonormée (−>I ,−>J ) de P faite de vecteurs
propres. Écrire la matrice de changement de base et l'équation de C dans les
nouvelles coordonnées X et Y associées à cette nouvelle base.
e) Montrer que le centre Oméga de C a pour coordonnées x = 1, y = 0 (et z = 0).
f) Donner des équations des axes de symétrie de C.
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