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espace d'Hilbert

Posté par
leflamenquiste 05-05-08 à 19:51

salut
je suis sur un exercice où il s'agit du théorème de Riesz (relatif à Hilbert).Soit H espace de Hilbert.
Dans la première partie j'ai donc montrer que pour tout aH fixé, l'application La qui à un xH associe le produit scalaire (x|a) est une forme linéaire continue de norme ||a||.
Ensuite dans la deuxième partie on nous demande de montrer la réciproque:
Donc pour toute forme linéaire continue L sur H , il faut montrer qu'il existe un vecteur unique aH tel que L(x)=(x|a), pour tout xH.
Pour l'unicité ça va mais pour l'existence on nous dit:
Si L0 , E=Ker(L) et zE, soit b=z-PE(z); on a bE et b est orthogonal à tout vecteur de E.
Vérifier alors que pour tout xH on a x-(L(x)/L(b))bE
En fait j'ai du mal à faire la vérification mais aussi même si c'est pas demander comment il en arrive à cette formule x-(L(x)/L(b))bE ???
merci d'avance

Posté par
leflamenquistere : espace d'Hilbert 05-05-08 à 21:22

personne à une idée??
A oui j'ai oublié de préciser PE(z) est la projection de z sur E

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace d'Hilbert 05-05-08 à 22:19

Salut leflamenquiste.

La vérification est immédiate:

par linéarité de L on a bien: 4$\forall x\in H,\;L(x-\fr{L(x)}{L(b)}.b)=L(x)-\fr{L(x)}{L(b)}.L(b)=0 d'où 4$x\in E

Avoir l'idée de démontrer cela peut paraître spectaculaire, mais il n'en est rien:

b a en effet été construit pour être une base de l'orthogonal de E (en effet, L étant une forme linéaire continue non nulle, son noyau est un hyperplan de H, donc E admet bien un supplémentaire orthogonal de dimension 1).

Tout x de E se décompose donc de manière unique selon cette somme directe sous la forme 4$x=e+\alpha.b

avec 4$\alpha\in \bb{R}4$,\;e \in E.


Pour déterminer 4$\alpha, il suffit d'observer qu'en appliquant L à l'égalité précédente, il vient aussitôt: 4$L(x)=L(e)+\alpha.L(b)=\alpha.L(b), c'est-à-dire, nécessairement: 4$\alpha=\fr{L(x)}{L(b)}.


Arrivé à ce stade, il ne restera plus qu'à choisir 4$b tel que 4$L(b)=<b|b> pour en déduire que pour tout x de H on a: 4$L(x)=<x|b> , ce qui établira la réciproque.

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace d'Hilbert 05-05-08 à 22:22

Citation :
par linéarité de L on a bien: 4$\forall x\in H,\;L(x-\fr{L(x)}{L(b)}.b)=L(x)-\fr{L(x)}{L(b)}.L(b)=0 D'où 4$x-\fr{L(x)}{L(b)}.b\in E


, pardon!

Posté par
H_aldnoerre : espace d'Hilbert 05-05-08 à 22:28

[HS]Salut Tigweg, tu es en forme en ce moment! Je te vois poster partout! Comment vas-tu? Apparemment plutôt bien![/HS]

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace d'Hilbert 05-05-08 à 22:32

Salut H Je vais bien merci, je suis en stand-by en ce qui concerne mon affectation à venir, ce qui fait que j'ai effctivement pas mal de temps en ce moment!

Posté par
leflamenquistere : espace d'Hilbert 06-05-08 à 09:56

salut tigweg merci beaucoup pour l'explication j'y vois plus clair pour la vérification j'ai un peu abusé c'était tout bête je sais pas pourquoi je bloquais lol

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace d'Hilbert 06-05-08 à 09:59

Salut leflamenquiste, avec plaisir!

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace d'Hilbert 06-05-08 à 10:01

Par contre, j'aurais dû préciser que le noyau de L est un hyperplan fermé de H, donc il admet un supplémentaire orthogonal de dimension 1.


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