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espace dual
J'ai un petit problème sur les espaces duals que je n'arrive pas à démarrer, est-ce que quelqu'un peut m'aider. Merci d'avance. Voici le sujet:
Soit E un K-espace vectoriel et B = (ei)i∈I une base de E. Nous notons E∗ l'ensemble
des formes linéaires sur E, ie l'ensemble des applications linéaires ϕ : E → K. Remarquer
que E∗ est un espace vectoriel pour les lois usuelles sur l'espace des applications de E dans
K. On appelle E∗ l'espace dual de E.
I-1. Soient Ei = vect(ei), Fi = vect(B \ {ei}) et πi : E → Ei la projection sur Ei
associée à la somme directe E = Ei ⊕ Fi. On note ei* : E → K l'application définie par :
∀ x ∈ E, ei*(x) = [πi(x)](ei).
Montrer que ei* est l'application définie par : ∀ i1, · · · , in ∈ I, ∀ a1, · · · , an ∈ K,
n
ei* (aj · eij) = 0, si i {i1, · · · , in}
j=1
n
ei* (aj · eij) = ak, si i = ik, k ∈ {1, · · · , n}.
j=1
Montrer que ei* ∈ E∗.
Bonjour quand même!
Déjà ei* prend ses valeurs dans E et pas dans K, ou alors je n'ai pas compris ton énoncé.
Dans ce cas, tout est évident car un vecteur x de E est une combinaison linéaire (finie) des vecteurs ei, et ei* associe à un tel vecteur le terme de cette décomposition qui contient le vecteur ei .
Une telle décomposition est unique puisque B est une base de E.
Après, de deux choses l'une:
soit ei n'apparaît pas, auquel cas c'est comme s'il apparaissait avec un coefficient nul, et on récupère 0 comme image, soit il apparaît et on récupère le terme.
C'est exactement la définition proposée dans ton énoncé, à ceci près que dans ton énoncé, on est censé récupérer un coefficient et pas un vecteur!
Tu as dû faire une erreur en recopiant, en tout cas l'idée est là.
Désolée, bonjour
Je recopie la question car les symbôles ne s'étaient pas écris:
Montrer que ei* est l'application définie par : ∀ i1, · · · , in ∈ I, ∀ a1, · · · , an ∈ K,
n
ei* 
(aj · eij) = 0, si i
{i1, · · · , in}
j=1
n
ei* (aj · eij) = ak, si i = ik, k ∈ {1, · · · , n}.
j=1
Montrer que ei* ∈ E∗.
PS: on a bien ei* : E
K je ne me suis pas trompée.
Dans ce cas, je ne comprends pas la définition initiale de ei*(x) :
πi(x) désigne un vecteur de E, donc l'écriture [πi(x)](ei) n'a pas de sens...ne te serais-tu pas trompée à cet endroit?
La notation n'est pas claire on ne voit pas bien les indices
il semble que soit lineaire et envoie tous les vecteurs de base sur 0 sauf un, lequel ce n'est pas clair a cause de l'ecriture défectueuse des indices
est-ce ou
la notation est eij
e indice i indice j
i est la projection sur Ei associée à la somme directe E = Ei
Fi.
La notation [i](ei) désigne les coordonnées de i.
Je suis d'accord avec Tigweg
ton texte est incoherent
Si est la projection sur Ei associée à la somme directe E = Ei
Fi.
La notation (ei) désigne un élément de Ei et non sa coordonnée selon ei
pour retablir un texte correct il faudrait composer avec l'isomorphisme entre Ei et K qui associe à
sa composante
on copie l'adresse et on la selectionne et on clique sur la fleche de travers en dessous qui donne un lien
Effectivement est bien composé ds le texte avec l'isomorphisme entre Ei et K qui associe à
sa composante
C'est ce que sous-entend le en indice
les notations sont tres compliquées
on peut ecrire plus simplement
sans distinguer le premier cas où le coef de
est nul et donc n'apparait pas ds la somme
cela devient plus clair deja qd on a compris cela
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