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Espace dual : Bidual et antédual !
Bonjour, j'aurais besoin d'un petit coup de main...
Je n'ai pas très bien compris ce qu'était un antédual...
Je suis en train de faire cet exos : ***
Je bloque sur la question 2 :
Quelqu'un pourrait me détailler un peu plus à partir de la matrice R (je n'ai pas très bien compris : il s'agit de la matrice de passage de la base duale de la base canonique de R^4 (or la base duale de la base canonique de R^4 est-elle la base canonique de R^4 ??). Si c'est le cas, ok, on dispose les fi en colonne.
édit Océane : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum, en postant un exercice par topic 
Salut
D'abord il faut recopier ton énoncé.
Sinon si B* est la base duale de B, alors on dit aussi que B est la base antéduale de B*, c'est tout !
J'ai 4 formes linéaires indépendantes : f1,f2,f3,f4 qui proviennent de la décomposition d'une forme quadratique q en combinaison linéaire de carrés.
Je souhaite construire une base orthogonale B relativement à q, et écrire la matrice associée dans cette base.
Les 4 formes sont :
f1(X)=x+y+2z+2t
f2(X)=x-y
f3(X)=y+(1/2)t
f4(X)=t
Bon sinon je réponds à tes questions :
(or la base duale de la base canonique de R^4 est-elle la base canonique de R^4 ??
Bien sûr que non ! Ce sont des espaces totalement différents ..
Dans le cas générale pour passer d'une base B* à sa base antéduale B et en notant P la matrice de passage de la base canonique de R^4 à B et Q la matrice de passage de la base canonique de (R^4)* à B* alors on a la relation :
Alors quelle est la base duale de la base canonique de R^4 : ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)) ?
Je ne vois vraiment pas...
Bonjour à tous.
Il faut d'abord comprendre ce qu'est l'espace dual, j'ai l'impression que ça n'est pas clair pour l'instant ...
Si est un espace vectoriel (sur
, par exemple), le dual algébrique de
, que l'on note
, est l'ensemble des formes linéaires sur
, c'est-à-dire l'ensemble des applications linéaires de
dans
.
Maintenant, si l'on suppose que est de dimension finie, et que
en est une base, on sait que tout vecteur
s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des
: il existe une unique famille de réels
tels que
.
On définit alors les applications qui à un vecteur
associe
, c'est à dire que l'application
associe à un vecteur sa composante suivant
dans la base
. (ces applications sont parfaitement définies puisque les
sont uniques)
On montre alors facilement que les applications sont des formes linéaires, et que la famille
est une base de l'espace
: c'est la base duale de
.
(Ceci montre aussi que est de dimension n, et qu'il est donc isomorphe à
.)
Merci, alors si j'ai bien tout compris, la base duale de la base canonique de R^4 : ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)) est : ((x,0,0,0),(0,y,0,0),(0,0,z,0),(0,0,0,t)) pour (x,y,z,t)€R^4
Est ce cela ?
Je crois que tu n'as toujours pas saisi que les éléments du dual sont des formes linéaires, et non des vecteurs de R^4 ...
La base duale de la base canonique de R^4, c'est , où
est l'application linéaire qui a un vecteur associe sa i-ième coordonnée dans la base canonique.
Ok, merci je commence à saisir...
Autre question : Je ne sais plus comment montrer que des formes linéaires ne sont pas indépendantes ? (je me fait peur !)
D'autre part, la réponse à cette question m'expliquera alors pourquoi on peut completer la fammille {x+y-z,x-y} par z de sorte à ce que {x+y-z,x-y,z} soit une base d'un dual !
Merci
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