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espace euclidien

Posté par
aurelie231 31-03-08 à 12:35

Bonjour,
pourriez vous, svp, m'aider pour ces exos ?

Exo 1 :

On se place dans l'espace euclidien canonique R^3 et on considère un point A de coordonnées (0, acos teta, asin teta) où a > 0 et 0<=teta<=pi/2 sont donnés.
On considère le cône (C) formé par toutes les droites passant par A et dont la direction fait un angle de pi/4 avec OA (en vecteur).

a) Ecrire une équation caractérisant les points du cône (C).
b) On coupe (C) par le plan horizontal (Q) d'équation z = 0. Décrire la courbe intersection de (C) avec (Q). Discuter sa nature suivant les valeurs de teta.

Exo 2 :

Dans l'espace euclidien canonique R^3 on considère les 2 cylindres (Cyl1) et (Cyl2) de directions respectives les vecteurs j et k de la base canonique et passant respectivement par les cercles (C1) d'équations (y = 0 ; x² + z² =1) et (C2) d'équations (z=0 ; x² + y² = 1).

1) Ecrire les équations de (Cyl1) et (Cyl2).
2) Montrer que leur intersection est la réunion de deux courbes planes que l'on décrira.

Voilà  ,
merci d'avance
A+

Posté par
dhaltere : espace euclidien 31-03-08 à 13:45

Pour tout point M, la droite (AM) et la droite (OA) forment un angle (non orienté) de \frac{\pi}4 :  tu le traduis par un produit scalaire.

|\vec{AM}\vec{OA}|=||\vec{AM}||\times||\vec{AO}||\times\cos(\frac{\pi}4)

Il y a des valeurs absolues autour du produit scalaire pour exprimer que l'angle est entre deux droites non orientées (en gros, l'angle entre les vecteurs \vec{AM} et \vec{OA} peut être \frac{\pi}4 mod(2\pi) ou \pi-\frac{\pi}4 mod(2\pi))
Tu élèves au carré et tu simplifies l'expression.
Bonne chance et surtout, ne pas faire d'erreurs de calculs.

Posté par
dhaltere : espace euclidien 31-03-08 à 13:53

Quand z=0, tu te retrouves avec une conique dans le plan xOy. Suivant 5$ \theta, tu trouveras, je pense, ellipse, cercle, parabole ou hyperbole.

Pour l'exo 2, l'équation de Cyl1 est x²+z²=1, tout simplement. Idem pour Cyl2.

Les deux courbes planes que tu cherches sont deux ellipses de centre O, dans les plans d'équations cartésiennes z=y et z=-y.
Peut-être qu'une petite rotation te permettra de mieux les mettre en évidence.

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace euclidien 31-03-08 à 14:04

Bonjour Aurélie

Ex 1

(AO) est la hauteur du cône, donc ses cercles de base sont dans des plans

orthogonaux à (AO).Le demi-angle au sommet (le sommet est A) vaut pi/4:

c'est l'angle entre (AO) et l'une quelconque des génératrices du cône.

Soit (P) le plan orthogonal à (AO) passant par O et (C) le cercle-intersection

du cône avec (P).O est son centre car la condition angulaire de l'énoncé

entraîne que c'est un cône de révolution.

Si r est le rayon de ce cercle, on a r=AO.tan(pi/4)=AO=a.

Le cône cherché est l'ensemble des points M de l'espace tels que:

4$\fr{MH}r=\fr{AH}{AO} soit 4$\fr{MH}r=\fr{AH}{a}\;\;\;(*)

où on a appelé H le projeté orthogonal de M sur (AO).


Il ne te reste plus qu'à déterminer les coordonnées de H par rapport à celles

de M, puis à utiliser (*) pour en déduire son équation cartésienne.


Le b) sera facile dès que tu auras cette équation


Ex 2

Un cylindre est l'ensemble des points M tels que


4$MH=r où H projeté de M sur l'axe du cylindre.

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace euclidien 31-03-08 à 14:58

Bonjour dhalte

Désolé de ne pas t'avor salué avant, j'ai dû partir en catastrophe!

Ta méthode m'a l'air plus simple que la mienne.

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 31-03-08 à 21:01

Bonsoir,
désolée de n'être pas intervenue plus tôt...j'étais en cours cet aprem...
Merci beaucoup pour votre aide.
Bonne soirée (si jamais j'ai un p'tit problème, je viendrai demander conseil)
Aurélie

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 31-03-08 à 22:13

Rebonsoir,
j'ai calculé AM, OA, cos(pi/4) = (racine de 2)/2 pour l'expression du produit scalaire mais après je fais comment pour trouver l'équation caractérisant les points du cône (C) ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace euclidien 31-03-08 à 22:17

Pour ma part je t'en prie.

Dhalte te proposait de calculer avec des coordonnées le produit scalaire du membre de gauche (par rapport à x,y et z, donc) et d'écrire que sa valeur absolue est égale à l'expression qui est à droite,elle aussi traduite par rapport à x,y,z.

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 31-03-08 à 22:26

oui, mais ça donne une grande expression quand même, je trouve ça "bizarre", enfin...
Dans le 2ième exo je ne comprends pas d'où il trouve les équations (j'ai essayé de prendre dans mon cours, l'équation d'un cylindre mais ça ne m'aide pas...)

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace euclidien 31-03-08 à 22:30

Sinon prends ma méthode, ça tombe tout seul et je t'ai expliqué d'où ça venait géométriquement.

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace euclidien 31-03-08 à 22:31

J'ai l'impression que tu n'as pas lu mes messages!

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 31-03-08 à 22:32

C'est ce que j'étais en train de faire merci

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 31-03-08 à 22:32

si si je les ai lu...

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 31-03-08 à 22:40

Mais en fait je n'arrive pas à appliquer...pfiou compliqué...

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace euclidien 31-03-08 à 22:45

Ah? Pour l'ex 1 la méthode de dhalte est plus simple je pense, et il y a sans doute des morceaux de calcul qui disparaissent.

C'est pour l'ex 2 que tu peux essayer d'appliquer ce que j'avais écrit.

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace euclidien 31-03-08 à 22:46

Il te faut déjà l'expression des coordonnées du projeté orthogonal H de M par rapport à x,y,z.

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 31-03-08 à 23:00

je vais me coucher, car demain grosse journée de probas...et mes idées seront surement plus claires demain pour l'exo...
merci encore
A demain peut être alors
Bonne fin de soirée

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace euclidien 01-04-08 à 19:39

Avec plaisir

Ce soir je risque de rentrer tard, mais poste si tu le souhaites et je répondrai.

Bonne soirée!

Posté par
dhaltere : espace euclidien 01-04-08 à 21:29

Bonsoir,
avec mon produit scalaire (j'avoue que les calculs sont lourds), j'obtiens l'équation
3$ (y\cos(\theta)+z\sin(\theta)-a)^2+(y\cos(\theta)+z\sin(\theta))^2=x^2+y^2+z^2
J'ai vérifié que le point A est bien sur cette surface et que dans le cas où 3$ \theta=\frac{\pi}4, alors les points 3$ \(0\\a\cos(\theta)\\0\)\text{ et }\(0\\0\\a\sin(\theta)\) sont aussi sur ce cône.

Si maintenant z=0, alors l'équation devient :
3$ (y^2(2\cos^2(\theta)-1)-2ay\cos(\theta)+a^2=x^2

si 3$ \theta=\frac{\pi}4 alors l'équation devient
3$ y=\frac{a^2-x^2}{a\sqr2} c'est une parabole.

si 3$ 0\le \theta<\frac{\pi}4 alors le coefficient de 3$ y^2 est positif et c'est une hyperbole.

si 3$ \frac{\pi}4<\theta \le \frac{\pi}2 alors le coefficient de 3$ y^2 est négatif et c'est une ellipse.

Cas particulier : 3$ \theta=0, l'équation devient (y-a)^2=x^2 et c'est un couple de droites.

Cas particulier : 3$ \theta=\frac{\pi}2, l'équation devient 3$ a^2=x^2+y^2 et c'est un cercle

Bonne lecture.

Posté par
dhaltere : espace euclidien 01-04-08 à 21:41

Quelques images pour y voir clair

espace euclidien

espace euclidien

Posté par
dhaltere : espace euclidien 01-04-08 à 21:44

Et les deux cylindres

espace euclidien

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 01-04-08 à 21:56

Bonsoir,
d'abord merci Tigweg pour ton aide...bonne soirée également

Merci aussi à toi Dhalte, par contre je ne trouve pas la même équation... bizarre...
Pour AM j'ai : AM = x² + (y - acos teta)² + (z- asin teta)² et AO = a² mais quand je développe tout je n'ai pas la même chose que toi...et le cos (pi/4) j'en fais quoi ?

Posté par
dhaltere : espace euclidien 01-04-08 à 21:56

Les deux cylindres ont respectivement pour équation :
3$ \{{\begin{eqnarray}x^2+z^2 & = & 1 \\x^2 + y^2 & = & 1\end{eqnarray}}\.

Pour tout point M de coordonnées 3$ \(x\\y\\z\) appartenant aux deux, on obtient immédiatement
3$ z^2=y^2 c'est à dire 3$ ou\{ y=z\\y=-z\.

On voit que ces intersections sont dans les plans contenant l'axe Ox et bissecteurs des 4 dièdres formés par les plans xOy et xOz.

espace euclidien

Posté par
dhaltere : espace euclidien 01-04-08 à 21:59

Jusqu'à preuve du contraire, \cos(\frac{\pi}4)=\frac1{\sqr2}

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 01-04-08 à 22:03

pour le cos je suis d'accord,
mais pourquoi je ne trouve pas la même équation...? lorsque j'ai AM et OA (j'ai calculé les coordonnées puis leurs distances en élevant au carré) je termine comment après ? je crois que je m'embrouille en fait...

Posté par
dhaltere : espace euclidien 01-04-08 à 22:07

Citation :
AM = x² + (y - acos teta)² + (z- asin teta)²

C'est parfait.

maintenant, tu te coltines le produit scalaire, et je te préviens que la moindre étourderie se paie cher, l'équation est ""lourde"".

Posté par
dhaltere : espace euclidien 01-04-08 à 22:08

oups, ce n'est pas si parfait que ça : il s'agit du carré de la distance :

Citation :
AM*AM = x² + (y - acos teta)² + (z- asin teta)²

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 01-04-08 à 22:12

rolalala...je suis totalement perdue.... comment faire le produit scalaire des 2 distances AM et OA ? Est ce que je pourrais avoir une petite indication encore sur la façon avec laquelle vous avez obtenu l'équation ?

Posté par
dhaltere : espace euclidien 01-04-08 à 22:17

Rhôôô, toi alors...

\vec{AM}\vec{OA}=||\vec{AM}||\times||\vec{OA}||\times\cos(\hat{\vec{AM}\vec{OA}})
tu as les coordonnées, donc tu calcules facilement le membre de gauche. Et tu calcules aussi le membre de droite avec les distances. Le cosinus vaut (au signe près) \frac1{\sqr2}

Posté par
dhaltere : espace euclidien 01-04-08 à 22:25

Pour les cylindres, sais-tu faire une rotation dans l'espace ?

Soit M de coordonnées \(x\\y\\z\)

La rotation d'axe Ox, d'angle \frac{\pi}4 transforme les coordonnées du point M en les valeurs \(x'\\y'\\z'\) qui vérifient
\{x'=x\\y'=\frac1{\sqr2}(y-z)\\z'=\frac1{\sqr2}(y+z)\.

si on cherche l'intersection vérifiant y=z, alors on voit que les nouvelles coordonnées vérifient
\{x'=x\\y'=0\\z'=y\sqr2\.
ce qui nous donne :
\{y'=0\\(x')^2+\frac12(z')^2=1\.
c'est une ellipse dans l'un des plans penchés.
Et si on cherche la solution lorsque y=-z, on obtient:
\{z'=0\\(x')^2+\frac12(y')^2=1\.
c'est une ellipse dans l'autre des plans penchés.

espace euclidien

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 01-04-08 à 22:29

B1 c'est ce que je fais mais...je ne trouve toujours pas le résultat...

Pour : AM.OA = ya cos teta + za sin teta - a² (vecteurs AM et OA)
pour : AM² = x² + y² + z² + a² - 2ay cos teta - 2az sin teta (distance)
pour : OA² = a²
      
Après heu....
je pense que je vais abandonner...

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 01-04-08 à 22:30

Pour les cylindres, je n'ai pas de soucis...merci

Posté par
dhaltere : espace euclidien 01-04-08 à 22:41

Le produit scalaire, c'est ça !!!

On va noter 3$ \{c=\cos(\theta)\\s=\sin(\theta)\.
alors
3$ O=\(0\\0\\0\)
3$ A=\(0\\ac\\as\)
3$ M=\(x\\y\\z\)
3$ \vec{OA}=\(0\\ac\\as\)
3$ \vec{AM}=\(x\\y-ac\\z-as\)
3$ \vec{AM}\vec{OA}=x\times0+(y-ac)\times ac+(z-as)\times as
3$ \vec{AM}\vec{OA}=yac-a^2c^2+zas-a^2s^2
3$ \vec{AM}\vec{OA}=yac+zas-a^2
et maintenant tu égales les deux membres (en les élevant au carré pour les raisons que j'ai déjà expliquées).
3$ (yac+zas-a^2)^2=a^2(x^2+(y-ac)^2+(z-as)^2)\times \frac12
tu tripatouilles cette expression pour la rendre un peu plus présentable (c'est à dire exploitable) et tu obtiens ... ce que j'ai obtenu.

Pour les cylindres, j'avais terminé...

Posté par
aurelie231re : espace euclidien 01-04-08 à 23:19

Ouf ! ça y est je viens de trouver mon erreur....une étourderie qui m'a pris beaucoup de temps certes...on mettra ça sur le compte de la fatigue...
Merci encore beaucoup beaucoup pour votre aide, vos explications qui étaient très claires.
Bonne soirée
Aurélie

Posté par
Tigweg Correcteurre : espace euclidien 02-04-08 à 00:44

Wouawww quel travail et surtout quelle présentation dhalte!

Tu as de la chance, Aurélie!

Bonne nuit!


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