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Espace euclidien
Bonjour à tous,
je suis nouveau ici... et j'ai un problème d'algèbre bilinéaire...
Soit E = R[X] l'espace des polynômes, muni du produit scalaire défini par (P|Q)=
P(t)Q(t)dt (l'intégrale est entre 0 et 1). Pour n 
, soit En le sous espace des polynomes de degré inférieur ou égal à n. On note qn la projection orthogonale sur En.
1. Soit n un entier 
1. Montrer que Pn=Xn-qn-1(Xn) est l'unique polynome unitairede degré n orthogonal à En-1.
2.On pose P0=1. Calculer P1,P2,P3.
3.Montrer que (P0,P1,...,Pn) est une base orthogonale de En.
4.Montrer que pour tout entier n2, le polynome Pn-XPn-1 est combinaison linéaire de Pn-1 et Pn-2.(on pourra remarquer que (XP|Q)=(PX|Q) pour tous polynomes P et Q).
5.Soient ai,...,ak les racintes distinctes du polynome P dans [0;1]. Montrer qu'il existe un polynome Q Ek tel que (P|Q)
0. En déduire que Pn à n racines distinctes dans [0;1].
Voila mon problème je suis dessus depuis déjà deux heures et demi je pense que je vais devenir fou je vois quoi faire dans chaque point mais je n'arrive pas à le faire puis-je avoir de l'aide s'il vous plait ???
Merci d'avance!!
Bonjour.
Pour tout projecteur p, on sait que E = Im(p) 
Ker(p).
Ici, Imp(pn) = IRn-1[X]
Alors : Xn = pn(Xn) + Xn - pn(Xn)
L'unicité de l'écriture en somme directe signifie que Xn - pn(Xn) est orthogonal à IRn-1[X].
Ce polynôme de degré n, normalisé répond donc à la question.
S'il en existe un autre Q, IRn-1[X] étant un hyperplan de IRn[X], Q est colinéaire à Xn - pn(Xn) .
Donc, Q = a.(Xn - pn(Xn)).
Si l'on veut Q normalisé, cela entraine que a = 1.
Donc Q = Xn - pn(Xn)
ha ouais d'accor je vois maintenant!!! Merci beaucoup...
Pour la question 2... j'ai trouve que P1=X - 1/2 Mais je ne sais pas comment trouvé P2 et P3 je cherche des vbases orthogonales de E1 et E2 en appliquant gram-schmidt et puis après je fais la projection de X^n sur les vecteurs orthogonaux de E1 et E2???
Pour la 3 j'utilise la question 1 et la question 3 c'est une récurrence en fait ? L'initialisation c'est la question 2 et l'hérédité c'est la question 1 c'est bien ca ??
Par contre pour le 4 je n'ai vraiment aucune idée ....
Besoin encore un peu d'aide je crois ... Merci d'avance !!
Pour construire P1, ... , P3, je suis revenu à la définition :
P1 = X + a est orthogonal à IR0, donc, orthogonal à 1.
Donc, (P1|1) = 0
P2 = X² + aX + b est orthogonal à IR1, donc, orthogonal à 1 et à X
Donc, (P2|1) = 0 et (P2|X) = 0
Je trouve, ( à vérifier ) :
P1(X) = X - (1/2)
P2(X) = X² - X + (1/6)
3°) Les polynômes sont gradués par les degrés donc indépendants. Au nombre de n+1, ils constituent bien une base de IRn[X].
Leur orthogonalité vient de la construction : pour tout k, Pk est orthogonal à tous les Pj, avec j compris entre 0 et k-1.
ha oui d'accor je vois je n'avais pas du tout penser a faire ca pour calculer P1 et P2 pour P1 j'ai trouve pareil et je vais vérifier après pour P2...!!
En fait j'ai n+1 polynomes dans un espace de polynome de degré inferieux ou egal a n donc ils me restent a montrer que P0 , ... , Pn sont indépendants et ils le sont du fait que a chaque fois ils augmentent d'un degré... ok pour ca c'est bon...
Comme on a construit chaque Pn pour qu'il soit orthogonal a tout En-1 c'est gagne la base est donc orthogonale!!
D'accor merci beaucop ca m'aide beaucoup!!!
Mais la question 4 par contre je suis tjrs à sec dessus ....
Merci encore pour toute l'aide!!
c'est possible que moi je trouve pour P3 X^3 -(6/10)X² -(6/10)X + 1/10??????
Oui si tu pouvais m'aider après 23h se serai bien pcq je susi trop perdue a la question ...
Merci encore beaucoup j'ai besoin d'aide la ...
Comme Pn est normalisé, Pn - XPn-1 est élément de IRn-1[X]
Donc, il se développe sur la base :
Alors, pour tout j compris entre 0 et n-3 :
Pj est orthogonal à tous les autres Pk. Il reste donc :
Cela s'écrit aussi :
Mais XPj est dans IRn-2[X], donc
On en déduit que, pour tout j, 0 < j < n-3 : aj = 0
Finalement :
Cette preuve ne fonctionne que pour n > 3.
Il faut donc regarder à la main le cas n = 2 :
Cela se fait à l'aide des calculs effectifs de la question 2.
"Comme Pn est normalisé, Pn - XPn-1 est élément de IRn-1[X]"
Pourquoi??? Je ne comprends pas !! ?
"Alors, pour tout j compris entre 0 et n-3 :"
je ne comprends pas pourquoi on s'arrete à n-3...??
et juste derniere chose pour moi ds P3 j'ai pas les memes coefs je te les ai mis plus haut tu penses que ca peut etre bon ???
Merci encore de ton aide!!!
Parmi les racines a1 , ... , ak , certaines sont d'ordre impair a1 , ... , as et les autres d'ordre pair as+1 , ... , ak
Alors :
R(X) n'ayant ses racines extérieures à [0,1] ou complexes.
Prenons alors avec 0 < s < n.
Donc,
On remarque que toutes les racines du polynôme Pn(X).Q(X) situées entre 0 et 1 sont d'ordres pairs. Cela
signifie que sur [0,1] Pn(X).Q(X) > 0.
Supposons k < n
Alors,
Le premier membre est nul car Pn est orthogonal à IRn-1[X] et le second membre est strictement
positif en tant qu'intégrale d'une fonction positive. Il y a donc contradiction et notre hypothèse k < n est fausse.
Conclusion : Pn a ses n racines (simples et réelles) dans [0,1]
¤ "Comme Pn est normalisé, Pn - XPn-1 est élément de IRn-1[X]"
Pourquoi??? Je ne comprends pas !! ? "
D'après l'énoncé, Pn = Xn - qn-1(Xn).
Regarde ce que donne le calcul Pn - X.Pn-1
¤ "Alors, pour tout j compris entre 0 et n-3 :"
je ne comprends pas pourquoi on s'arrete à n-3...??
XPj est alors dans IRn-2[X], donc ( XPj | Pn-1 ) = 0
¤ et juste derniere chose pour moi ds P3 j'ai pas les memes coefs je te les ai mis plus haut tu penses que ca peut etre bon ???
L'unicité des Pn entraine une seule réponse. Je penche pour mon résultat car il vérifie la question 4°
et non non je n'étais pas deconnecte je suis en trai nde bosser à coté !!ha oui d'accor c'est bon j'ai tout compris enfin je crois !!! je reviens poser deux ou trois petites questions si jamais un problème nouveau se pose a moi!!!
Merci enormement !!!!!
Bonne nuit ossi si tu va te coucher...
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