J'ai avancé un peu en supposant que ce que j'ai fait dans mon post précédent est bon.

je dois ensuite determiner une base orthonormée dont le premier vecteur est (1/sqrt(3))u.

Je fait Gramm Schmitt à partir de la base {(1,1,1),(1,0,-1),(0,1,-1)>  (est ce bien cela qu'il faut faire ?)

Je trouve comme base orthonormée {(1/sqrt(3))(1,1,1),(1/sqrt(2))(1,0,-1),(sqrt(2)/sqrt(3))(-1/2,1,-1/2)}.

La dernière question de l'exercice consiste à montrer que r est une rotation d'axe dirigé u et d'angle à déterminer. Comment faire pour répondre à cette question ?

Merci

Bonjour, Prehilbertien

Appelons  (u,v,w) la base orthonormée directe que tu as trouvée.
L'angle   vérifie:



Si tu as démontré auparavant que r était une rotation, en établissant par exemple que r est une isométrie parce qu'elle transforme une base orthonormée en une base orthonormée et parce que le déterminant de r vaut 1, il n'y a plus rien à faire.

Si tu ne l'as pas démontré, il sera plus rapide de vérifier que

Bonjour,

Je n'ai pas tout compris... Désolé !

J'ai montré que ^tA*A=I₃ donc j'en ai déduit que r est un automorphisme orthogonal, directe car det(A)=1.

J'ai également trouvé une b.o.n (u,v,w)={(1/sqrt(3))(1,1,1),(1/sqrt(2))(1,0,-1),(sqrt(2)/sqrt(3))(-1/2,1,-1/2)}

La question est : montrer que r est une rotation d'axe dirigé u et d'angle à déterminer.

Comment montrer d'abord qu'il s'agisse d'une rotation d'axe u ?

Merci beauvoup

Par définition, une rotation de l'espace est un automorphisme orthogonal direct.
L'axe d'une rotation (distincte de l'identité) est l'ensemble des vecteurs invariants, c'est toujours une droite. Or, tu as montré précédemment que r(u)=u. Donc, l'axe de r est la droite de base u.
Pour déterminer l'angle de r, on se place dans le plan orthogonal à u, qui est le plan de base orthonormée directe (v,w). La restriction de r à ce plan est la rotation d'angle . Elle vérifie donc:

On a donc directement:
cos(theta) est le produit scalaire de v et de r(v)
sin(theta) est le produit scalaire de w et de r(v)
Ce qui permet d'obtenir theta

Merci beaucoup !

Comment faire à présent dans R^4 ?

J'ai un automorphisme orthogonal direct s. On note S=mat(s,(e1,e2,e3,e4)) où (e1,e2,e3,e4) est la base canonique de R^4.

On a ^tS*S=I₄ => ^tS=S^-1

d'où S²=id et j'en déduis que le polynôme minimal est X²-1=0. Les valeurs propres sont les racines du polynôme minimal donc 1 et -1. Je calcul les sous espaces propres associés aux 2 valeurs propres.

Comment montrer que s est une symétrie orthogonale ?

(Je peux donner la matrice S :
1/2 1/2 1/2 1/2
1/2 -1/2 1/2 -1/2
1/2 1/2 -1/2 -1/2
1/2 -1/2 -1/2 1/2 )

Merci beaucoup pour tout !!! C'est vraiment sympa, parce que je prépare le rattrapage et ça m'aide vraiment !

Attention, le fait que       n'entraîne pas que

Par contre       et      entraînent  


De manière générale, toute symétrie qui est une isométrie est une symétrie orthogonale.
Première démonstration:
        donc     Donc, S est symétrique réelle, ce qui montre que les sous-espaces propres sont orthogonaux (mais il faut savoir que les sous-espaces propres d'une matrice symétrique réelle sont orthogonaux).

Deuxième démonstration
Soit x et y tels que   Sx=x   et  Sy=-y
S est une isométrie, donc   (Sx|Sy)=(x|y)    donc   (x|(-y))=(x|y)   donc  (x|y)=0
Ce qui montre que les sous-espaces propres de S sont orthogonaux

Donc si j'ai bien compris, il faut montrer que : ^tS=S pour montrer que S est une symétrie orthogonale (car on sait que S=mat(s,(e1,e2,e3,e4)) et que s est un automorphisme orthogonal).

Comment préciser les caractéristiques de cette symétrie ? (je ne sais pas comment faire dans R^4 ).
Merci

Les éléments caractéristiques d'une symétrie s sont   ker(s-Id)  et ker(s+Id).

Pour une symétrie orthogonale, il suffit de chercher  F= ker(s-Id), l'autre sous-espace étant l'orthogonal de F.

Merci

Autre question : pour ma rotation, la base {v,w} est directe, en est il de même si je considère  {w,v} à la place ?

Non, (w,v) est indirecte, et on obtiendrait au lieu de

Ok merci.

J'ai trouvé pour le premier sous espace propre (associé à la valeur propre 1) : {x=(x1,x2,x3,x4)€R^4^|x1=x4}, il s'agit bien de Vect((1,0,0,1),(0,1,1,0)> ?

Comment trouver son orthogonal ?

Merci

Le sous-espace propre est d'équations
x2=x3   et  x1=2x3+x4
de base   (2,1,1,0)   et  (1,0,0,1)

Et, s'il faut chercher une base de l'orthogonal, autant chercher   ker(s+Id)

Désolé mais il y a encore un truc que je n'ai pas tout à fait compris !

Comment avez vous fait pour dire que {v,w} est une base orthonormée DIRECTE ?

Merci

Il n'y a pas d'orientation privilégiée du plan P de base (v,w).

C'est nous qui choisissons (ou du moins c'est l'énoncé qui nous l'impose) cette orientation de la manière suivante:
une base orthonormale (v1,w1) de P est directe si et seulement si (u,v1,w1) est orthonormale directe.
une base orthonormale (v1,w1) de P est indirecte si et seulement si (u,v1,w1) est orthonormale indirecte.

Lorsqu'on a une rotation dans un espace euclidien de dimension 3, pour déterminer l'angle de cette rotation, il faut toujours choisir une orientation de l'axe, en choisissant un vecteur unitaire de cet axe (si on choisit le vecteur unitaire opposée, l'angle se transforme en son opposé).