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Espace préhilbertien et application insométrique
Bonjour,
J'ai un espace préhilbertien H réel. Soit f : H->H une application isométrique (c'est à dire telle que ||f(x)-f(y)||=||x-y|| pour tous x,y 
H) et telle que f(0)=0.
On doit montrer que ||f(x)||=||x|| pour tout xH, que (f(x),f(y))=(x,y) pour tous x,yH, puis calculer
(f(
x+y)-f(x)-f(y) , f(x+y)-f(x)-f(y))
où 
et x,yH.
Pourriez-vous m'aider svp ?
Pour la première égalité, je ne sais pas si ça suffit mais j'ai écrit la définition d'une fonction isométrique et remplacé f(y) par f(0), ce qui fait ||f(x)-f(y)||=||f(x)-f(0)||=||x-0||=||x||
Par contre pour les autres questions je ne sais pas trop...
Enfin ce que je ne sais surtout pas faire c'est tirer une conclusion de tous les résultats à ces questions en fait...
Bonsoir.
1°) Tu as eu raison de remplacer y par 0.
2°) Utilise le lien entre forme polaire et norme. Par exemple :
3°) Tu développes. Chaque fois que tu arrives à (f(a)|f(b)) tu remplaces par (a|b)
Ah oui merci pour l'astuce !
Pour la question 2 j'ai écrit
(f(x),f(y))=(1/4)[ ||f(x)+f(y)||² - ||f(x)-f(y)||² ]
=(1/4)[ ||f(x)||² + 2||f(x)||.||f(y)|| + ||f(y)||² - ||x-y||² ]
=(1/4)[ ||x||² + 2||x||.||y|| + ||y||² - ||x-y||² ] d'après la question 1
=(1/4)[ ||x+y||² - ||x-y||² ]
= (x,y)
est-ce correct ?
Je vais faire la dernière question
Pour la dernière question je trouve que
(f(x+y)-f(x)-f(y) , f(x+y)-f(x)-f(y)) = (0,0) = 0
On peut donc en déduire que f est linéaire
Par contre je pense que ça ne marche pas dans le cas d'un espace de Hilbert complexe.
Tes deux précédents topics sont corrects.
Dans le cas complexe, les formules de polarité sont tellement plus compliquées !!
Je t'avoue que je ne sais pas.
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