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Espace préhilbertiens / Orthogonalité
Bonjour, j'ai un petit doute de rédaction. Je vous remercie d'avance pour les remarques apportées!
Soient F et G deux sev d'un espace préhilbertien réel E.
Montrer que (F+G)
=F
G
Soit x
(F+G). On a donc pour tout y(F+G) (x|y)=0.
Or y(F+G) donc y=u+v avec uF et vG.
Donc par linéarité (x|y)=(x|u)+(x|v)=0 (*). Or (x|u)
0 et (x|v)0 donc (*)
(x|u)=0 et (x|v)=0 xF et xG xFG.
Donc (F+G)=FG
Mais j'ai un doute sur mon équivalence...
Merci d'avance
Bonjour.
Pourquoi et
devraient être positifs ?
Il faut procéder par double inclusion dans ce genre de problèmes, ça permet une rédaction plus propre.
D'accord merci!
Donc pour la première inclusion en prenant x(F+G) on arrive à (x|y)=(x|u)+(x|v)=0 comment continuer alors?
Pour la seconde inclusion:
Soit xFG. Soit yF+G donc y=m+n avec mF et nG donc (x|y)=(x|m)+(x|n)=0 car xFG donc (x|m)=0 et (x|n)=0
Donc x(F+G)
ou alors pour la première inclusion:
Si F
G alors pour xF, xG. Donc 
yG (x|y)=0. Or xF donc yF
Donc GF
Donc d'après la démonstration précédente (à vérifier si juste ou pas...)
FF+G donc (F+G)F et GF+G donc (F+G)G.
Donc (F+G)(FG) mais je ne suis pas sur du dernier "donc" ni comment le prouver clairement...
Ok pour la démo de implique
.
Pour le reste, je ne comprends pas tellement tes scrupules, si tu prouves que et
alors on a
, c'est rien d'autre que la définition de l'intersection : on appartient à l'intersection de deux ensembles quand on appartient aux deux ensembles, donc
implique
et
d'où
...
Manipuler les opérations ensemblistes sans se poser de questions ne doit plus poser de problèmes à ce stade.
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