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Espace propre matrice 4x4 de rang 1

Posté par
xbru 10-11-09 à 19:53

Bonsoir à tous, je bloque sur un problème.
Soit
A = \\ \begin{pmatrix} \\ 1&2&3&4 \\ \\ 2&4&6&8 \\ \\ 3&6&9&12 \\ \\ 4&8&12&16 \\ \end{pmatrix} \\ la représentation d'un endomorphisme T

1) Calculer le rang de A
-> 1

2) Calculer le polynôme caractéristique
-> \lambda^4 - 30\lambda^3

3) Détérminer les valeurs propres de T et les sous espaces propres associés. On donnera pour chacun une base.

Les valeurs propres sont donc 0 (de multiplicité 3) et 30.

C'est là que je commence à bloquer, j'ai du mal à distinguer le calcul pour le noyau et pour l'image.
Pour calculer l'espace propre associé à 0:
E_0 = Ker(T - 0 \times I_4) = Ker(T)
celà équivaut à l'équation x+2y+3z+4t = 0

mais ensuite, que conclure ?
déjà pour la suite, j'imagine qu'on peut dire que T n'est pas bijectif puisque Ker T n'est pas réduit à l'espace nul.

Merci d'avance.

Posté par
infophilere : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 10-11-09 à 20:00

Bonsoir

Je confirme déjà tes résultats.

Citation :
mais ensuite, que conclure ?
déjà pour la suite, j'imagine qu'on peut dire que T n'est pas bijectif puisque Ker T n'est pas réduit à l'espace nul.


Ker(T) est un hyperplan, dont tu dois maintenant donner une base.

On sait dès le début que T n'est pas bijectif puisque de rang 1.

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 10-11-09 à 20:12

Ben disons que c'est principalement sur ce point que j'ai du mal à chaque fois, y'a-t-il une méthode précise pour trouver une base ?

Posté par
infophilere : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 10-11-09 à 20:32

Ton hyperplan est de dimension 3, donc il suffit de donner 3 vecteurs quelconques formant une famille libre.

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 10-11-09 à 21:46

C'est là que je ne comprends pas, la dimension du kernel est de 1 et il faut trouver 3 vecteurs...

Posté par
infophilere : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 10-11-09 à 21:58

non la dimension du kernel est 3 !

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 10-11-09 à 22:07

C'est donc l'image qui est de dimension 1 ?
tu me corrige si je me trompe
Im(T) = Vect<\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}>

Posté par
infophilere : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 10-11-09 à 22:10

oui

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 14:28

J'ai l'impression que ça se complique méchamment pour l'espace propre associé à 30.

Tu as une piste à me proposer pour démarrer ?

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 17:53

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 18:18

Pour info j'abouti au système suivant (corrigez moi si je me trompe)
\\ \[ \\ \left \{ \\ \begin{array}{c @{=} c} \\     0 & -33x + 3z + 4t \\ \\     0 & 4x + 6z + 8t \\ \\     0 & -11x - 22z + 12t \\ \\     0 & -14x + 12z - 14t \\ \end{array} \\ \right. \\ \] \\

et là... je n'arrive pas à conclure, comme d'hab...

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 18:21

Pardon, Le système:
\\ \begin{array} \\     0= & -33x + 3z + 4t \\ \\      0= & 4x + 6z + 8t \\ \\      0= & -11x - 22z + 12t \\ \\      0=& -14x + 12z - 14t \\   \end{array} \\

Posté par
infophilere : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 19:47

Personnelement j'ai le système suivant :

3$ \{-29 x+2 y+3 z+4 t=0\\2 x-26 y+6 z+8 t=0\\3 x+6 y-21 z+12 t=0\\4 x+8 y+12 z-14 t=0

On obtient les solutions en fonction d'un paramètre :

3$ \{t = 2y\\ x = \frac{1}{2}y\\ y = y\\ z = \frac{3}{2}y

Donc une base est 3$ (\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2).

On pouvait s'en douter que que ce sous-espace propre serait de dimension 1 (d'après le lemme des noyaux).

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 20:01

Je constate une différence avec mes résultat: pour moi x = -2y

Posté par
infophilere : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 20:12

Vérifie

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 20:19

\\ \begin{eqnarray} \\    -29x +2y +3z + 4t& = & 0 \\ \\    2x -26y +6z +8t& = & 0 \\ \\ \end{eqnarray} \\ \begin{eqnarray} \\    3z + 4t& = 29x -2y & L1  \\ \\     3z +4t& = -x +13y & L2 \\ \\ \end{eqnarray}
Il vient
29x - 2y = -x + 13y
x = -2y

Posté par
infophilere : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 20:47

29x-2y = -x+13y

donne

30x = 15y soit x = y/2

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 21:21

au temps pour moi et merci de ton aide !

Posté par
infophilere : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 21:25

de rien

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 21:26

j`ai juste une dernière question pour l'espace propre associé à 0:
la base:
(3, 2, -1, -1)
(-3, 2, 1, -1)
(3, -2, -1, 1) correspond-elle ?

Posté par
infophilere : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 21:31

Bah non c'est une famille de rang 2 ça va pas !

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 21:34

ah bon, pourtant on a dit que l'hyperplan était de dimension 3

Posté par
infophilere : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 21:36

ben oui donc il faut exhiber une famille de 3 vecteurs linéairement indépendants donc de rang 3.

Posté par
xbrure : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 11-11-09 à 21:50

tu peux m'éclairer à ce propos ? comment procède tu dans ce cas pour trouver une famille libre ?

Posté par
ladhalre : Espace propre matrice 4x4 de rang 1 12-11-09 à 22:34

Salut, xbru.
J'ai aussi posté là dessus, va voir là : https://www.ilemaths.net/sujet-matrice-et-vecteurs-propres-315610.html


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