Bonsoir,

Là tu t'embêtes beaucoup

- Pas besoin de dire "Soit x1,y1,x1' et y1' tels que . . ." : il est sous-entendu que quand tu écriras un signe + entre deux vecteurs , ce sera le + de l'addition qu'on t'a définie dans l'énoncé.

Pour le 1) il suffit de trois couples (u, v et w), pas 6 ; ça donne :
Soient u=(x1,y1), v=(x2,y2) et w=(x3,y3) trois vecteurs de R^2. Alors :
u+(v+w) = (x1,y1)+[(x2,y2)+(x3,y3)] = (x1,y1)+(x2+x3,y2+y3) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3)
et (u+v)+w = [(x1,y1)+(x2,y2)]+(x3,y3) = (x1+x2,y1+y2)+(x3,y3) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3)
Les deux sont bien égaux.

D'accord merci !
Et donc pour la deuxième application je fais pareil :

u+(v+w) = alpha*(x1,y1) + [alpha*(x2,y2) + alpha*(x3,y3)]
=(alpha*x1,0) + [(alpha*(x2+x3),0)]
=(alpha*(x1+x2+x3))

(u+v)+w = [alpha*(x1,y1) + alpha*(x2,y2)] + alpha*(x3,y3)
=[(alpha*(x1+x2),0)] + (alpha*x3,0)
= (alpha*(x1+x2+x3))

Les deux sont également égaux.
C'est bien comme ça que l'on fait?

Non non non :
u c'est le vecteur (x1,y1) , v c'est le vecteur (x2,y2), w c'est le vecteur (x3,y3)
Remarque que tu n'as besoin de trois vecteurs que pour la question 1), pour les suivantes u et v suffisent (voire seulement u pour certaines)

Quand tu écris ceci :

En fait ce que j'essayais de faire c'est de montrer la seconde opération de l'énoncé :"alpha*(x,y) = (alpha*x,0)

Tu n'as pas à montrer cette opération, on te la donne : on te dit que si (x,y) est un vecteur de R^2, alpha*(x,y) c'est le vecteur de coordonnées (alpha*x,0) - Par exemple, 3*(4,7)=(12,0)
Pareil pour l'addition de vecteurs qu'on te donne : par exemple, (3,7)+(8,2)=(3+8,7+2)=(11,9). C'est l'addition "coordonnée par coordonnée".

Avec les définitions de ces deux opérations, tu dois essayer de voir si R^2 vérifie les 8 propriétés que tu as listées ou pas. Si oui, c'est un espace vectoriel ; sinon (s'il y en a ne serait-ce qu'une seule qui n'est pas vérifiée), ce n'est pas un espace vectoriel.

Essaie de montrer la propriété numéro 2 :

D'accord j'ai compris
Je dirais donc u+v = (x1,y2)+(x2,y2) = (x1+x2,y1+y2)
               v+u = (x2,y2)+(x1,y1) = (x2+x1,y2+y1)
On voit que l'on obtient bien la même chose.

IL y a juste la  4 eme propriété pour laquelle je ne suis pas certaine de l'avoir bien démontrer.
u =(x1,y1) u' = (0,0)
et donc u+u' = (x1,y1) + (0,0) = (0,0) ??

En tout cas merci pour ton aide.
Grâce à toi j'ai enfin compris ce qu'il fallait faire!

Bonjour

Écris quand même (même si c'est évident) : = (x2+x1,y2+y1) = (x1+x2,y1+y2) (car l'addition dans R est commutative : x1+x2 c'est pareil que x2+x1)

Pour la quatrième propriété non tu ne l'as pas démontrée : si tu prends u'=(0,0), tu obtiens
u+u'=(x1,y1) + (0,0)=(x1+0,y1+0)= (x1,y1) et pas (0,0) !
En fait ça c'est la troisième propriété : u+0=u , où u=(x1,y1) et 0 est le vecteur (0,0)
Si tu veux démontrer la quatrième (il existe u' tel que u+u'=0), il faut donc que tu choisisses un u' différent... La question étant : à partir de u=(x1,y1), quel u'=(... , ...) faut-il additionner pour obtenir (0,0) ? ce n'est pas très difficile

N'hésite pas si tu as un problème pour les propriétés suivantes (et n'oublie pas, il se peut que certaines ne soient pas vérifiées)
Bon dimanche !

J'ai fini l'exo, voici ce que j'ai trouvé :

3/ u + 0 = (x1,y1) + (0,0) = (x1,y1) = u
la propriété est vérifiée.

4/ il existe u' = (-x1,-y1) tel que u+v=0 donc la propriété est vérifiée.

5/ alpha*(u+v) = alpha*(x1+x2,y1+y2) = (alpha*(x1+x2),0)
   alpha*u+alpha*v = alpha*(x1,y1) + alpha*(x2,y2) = (alpha*x1,0) + (alpha*x2,0) = (alpha*(x1+x2),0)

donc la prop est vérifiée.

6/(alpha+béta)*u = (alpha+béta)(x1,y1) = ((alpha+béta)x1,0)
alpha*u+béta*u = (alpha*x1,0) + (béta*x2,0) = ((alpha+béta)*x1,0)
la prop est vérifiée.

7/(alpha*béta)u = (alpha*béta)(x1,y1) = (alpha*béta*x1,0)
alpha(béta*u) = alpha*(béta*x1, béta*y1) = (alpha*béta*x1,0)
la prop est vérifiée

8/ 1*u = 1(x1,y1) = (x1,0) qui est différent de u =(x1,y1)
donc ce n'est pas un espace vectoriel.

[ Remarque : si on avait tout de suite remarqué que la propriété 8 n'était pas vérifiée, on pouvait dire directement que ce n'est pas un espace vectoriel sans se fatiguer à vérifier les 7 autres. Pour la rédaction de l'exo il suffit d'ailleurs de dire que la prop 8) n'est pas vérifiée]