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Espace vectoriel
J'ai des problèmes sur l'exercice suivant, et j'aurais vraiment besoin d'aide si vous en avez une idée:
On considère a, b appartenant à R(ensemble des nombres réels) et I=[a,b].Posons:
B(I,R)=ensemble des fonctions f bornées, définies de I vers R
D(I,R)=ensemble des fonctions f dérivables,définies de I vers R
Ǐ(I,R)=ensemble des fonctions f intégrables au sens de Riemann,définies de I vers R
Montrer que B,D et Ǐ sont des sous espaces vectoriels sur R
On montre que cet ensemble est un sous groupe additif et qu'il est stable pour la multiplication externe
Autrement dit si on considère E un K-espace vectoriel et F partie de E.On a:
Quelques soient V, W Є F, V-W Є E
Quelque soit V Є F, et λ Є K on a λ.V Є F
Montrons que B (I,R) est sous espace vectoriel de R.
Soit f et g 2 fonctions bornées définies de I vers R.
Considérons alors m et M tels que m ≤ f(x) ≤ M ; m' et M' tels que m'≤ g(x) ≤M' où (m, M) Є R et (m', M') Є R.
On a: m'-m ≤ g(x) -f(x) ≤ M'-M avec m'-m Є R et M'-M Є R. Alors g(x) -f(x) Є R
D'autre part considérons h(x) Є B et λ Є R tels que : a ≤ h(x) ≤ b. On a λ a ≤ λ h(x) ≤ λ b pour λ>0, et (a, b) Є R. Ainsi λ h(x) est bornée, donc appartient à B (I,R)
Par conséquent B(I,R) est sous espace vectoriel de R
Montrer que revient à montrer
Considérons alors m et M tels que m ≤ f(x) ≤ M ; m' et M' tels que m'≤ g(x) ≤M' où (m, M) Є R et (m', M') Є R.
Oui, ok.
On a: m'-m ≤ g(x) -f(x) ≤ M'-M avec m'-m Є R et M'-M Є R. Alors g(x) -f(x) Є R
Non, on ne connaît pas le signe de m', m, M et M' donc l'inégalité " m'-m ≤ g(x) -f(x) ≤ M'-M " est fausse.
On a λ a ≤ λ h(x) ≤ λ b pour λ>0, et (a, b) Є R
Oui et pour
Ne trouves-tu-pas plus pratique d'écrire :
Soient
On traduit que les fonctions x et y sont bornées :
En multipliant ces fonctions par lambda_i (qui sont des réels quelconques, donc qui peuvent être négatifs), il vient
On veut montrer que
Et bien grâce à l'inégalité triangulaire, on s'en sort :
En prenant
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