Bonjour

sans savoir ce qu'est l'ensemble E, ça va être duraille !

le th de Rolle, c'est celui qui dit que si une fonction continue sur [a,b] est dérivable sur ]a,b[, si f(a) = f(b), alors il y a au moins un c dans ]a,b[ tel que f'(c)=0

un théorème n'a pas de définition ! Il a un énoncé .

Un ensemble tout seul n'est pas un espace vectoriel
Un espace vectoriel est un triplet ( E, +, .)

avec +  et  .  qui vérifient des trucs précis

Enfaite dans mon cours, il est dit " Soit E un ensemble et (K,+,*) un corps." Ensuite il dit que "E muni des lois internes et externes est un K- espace vectoriel." Je ne comprend pas qu'est ce que c qu'un espace vectoriel et comment le démontre.
et donc par la suite comment on démontre un sous espace vectoriel?

C'est un ensemble E  MUNIT de deux lois  + et  .  (autrement dit c'est un triplet) (E,+) doit être un groupe commutatif et ensuite . doit être une application de kXE dans E  telle que :
1.x= x  pour tout  x  de E
(a+b).x =a.x+b.x
a.(x+y)= a.x+b;y
a.(b.x)= ab.x    (les  x  et  y  sont dans  E  et les  a  et  b dans K .

Bref "dans un espace vectoriel tu peux faire des sommes , des différences et multiplier par des constantes en restant dedans " .

Il y a  8 axiomes à vérifier ...c'est lours c'est pourquoi on a la notion de SOUS-espace vectoriel .Quand on connait déjà  E  ,+,.  un espace vectoriel F est un sous espace si c'est un espace avec les lois + et . de E (pour vulgariser).
Et là c'est plus rapide suffit que  0 soit dans F, a.x  dans F pour tout  x  de F et tout  a de k et x+y dans F quand x et y le sont

Le mieux c'est de voir sur des exemples .

1) Ton corps commutatif  K est un K  espace vectoriel : en effet le + est l'addiiton dans K et le  .  est la multiplication les 8 propriétés sont immédiates.
2) {0} sous ensemble de K  est un sous expace vectoriel de K :
car  il est non vide, 0+0 =0 donc tu restes dedans et ax0=0 .

3) K²  est un K espace vectoriel pour la somme usuelle :
(u,v)+ (u',v')= (u+u', v+v')
et le  "."  a(u,v)= (au, av).

je te laisse vérifier les 8 axiomes.

ps : si tu connais les groupes ça va plus vite ?