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Espace vectoriel
Énoncé : Soit S l'ensemble des solutions X du système homogème d'équations linéaires AX=0
où A= matrice 2 par 2 a c
b d
Montrer que cet espace vectoriel muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel.
Pistes: Je pense qu'il faut utiliser la martice X= x = 0 (2 par 1)
y
Comme il s'agit d'un système d'équations linéaires il y a deux cas possibles:
- le determinant de A est différent de 0 donc le système n'admet que le solution triviale et donc on travaille avec la matrice X.
- le déterminant = 0 alors il y a une infinité de solutions.
Voila mes questions:
- Est ce que mon raisonnement vous parait correct?
- Est ce que la matrice à utiliser est bien X?
- Faut-il traiter le cas où le déterminant est 0, et comment?
Merci bcp de votre aide, je n'ai pu trouver personne pour m'aider.
Bonjour.
As-tu vu les applications linéaires ?
Si c'est le cas, appelle u l'application linéaire de IR² vers IR² dont la matrice dans la base canonique est A.
Alors, l'ensemble S des matrices X = telles que A.X = O est en réalité le noyau de u. Et on sait que ce noyau est un sous-espace vectoriel de IR².
Sinon,
1°) S est une partie du IR-espace vectoriel IR²
2°) le vecteur O = est solution de AX = O, donc O
S. S est non vide.
3°) Si X et Y sont dans S et si a et b sont deux réels, calcule A(a.X + b.Y).
Je te laisse conclure.
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