Bonjour, que ne comprends-tu pas précisément dans la définition d'un espace vectoriel ?

merci

Je pense avoir compris la définition mais je ne comprend pas pourquoi l'ensemble des vecteurs du plan et l'ensemble des vecteurs de l'espace sont des espaces vectoriel sur R.

Prenons l'ensemble des vecteurs du plan.

Un vecteur dans le plan peut-être vu comme un élément de R x R = R^2, tu es d'accord ?

Alors, tu peux dire que R^2 muni de l'addition des vecteurs forme un groupe commutatif. Le reste des propriétés de la définition découle par la suite.

Ça t'aide ?

Je ne vois pas pourquoi un vecteur dans le plan peut-être vu comme un élément de R x R.

Si je te dis, dessine le vecteur A=(1,1). Tu vas tracer une ligne de droite de (0,0) à (1,1) dans le plan cartésien et tu vas avoir ton vecteur.

Or, (1,1) est un élément de R x R.

D'accord pour ce qui est de R^2 muni de l'addition des vecteurs forme un groupe commutatif.
Par contre la aussi, le reste des propriétés ne me parait pas si évident, pouvez reprendre un exemplequi montre qu'elles sont bien vérifiées dans le cas de l'ensemble des vecteurs du plan.

J'ai pris ma séquence de props. sur wiki

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel

Voici les exemples

La première, il est clair je l'espère que si on multiple n'importe quel vecteur du plan par le scalaire 1 alors le vecteur reste inchangé.

2ieme: Soit u=(1,0), v=(0,1) et a=2
2(u+v)=2(1,1)=(2,2)=2(1,0)+2(0,1)=2u+2v

3ieme: Soit b=1
(2+1)u=3u=(3,0)=2u+1u=(3,0)

4ieme: (2*1)u=2u=2(1u)

Il te reste maintenant à montrer en général, ce qui n'est pas très compliqué un coup que tu as compris les props.

Merci beaucoup.
Une dernière chose, je voulais savoir si le produit externe "." a un rapport avec le produit scalaire.

non, le produit externe est la multiplication par un scalaire, comme lorsqu'on multiplie un vecteur par un scalaire pour R, qui nous donne un vecteur de l'espace vect.

Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui donne une réponse dans R.