Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Espace vectoriel
Bonjour bonjour ; bonnes fêtes à tous.
J'ai un exercice qui m'embête un peu, j'ai essayé de le faire, mais je ne suis pas certain qu'il soit juste (loin de là) ; si quelqu'un peut y jeter un coup d'oeil... 
E : ensemble des applications f de R dans R telles que : il existe a, b, c, et d réels tels que pour tout x de R, f(x) = a x e^2x + b e^2x + c x e^-2x + d e^-2x.
Montrer que E est un e.v. sur R et déterminer une base de E (pour montrer l'indépendance linéaire des vecteurs de cette base, on pourra utiliser des considérations de limite en + et - l'infini).
J'ai fait ceci :
E = {a x e^2x + b e^2x + c x e^-2x + d e^-2x, (a,b,c,d)
R^4}
= {x e^2x (a,0,0,0) + e^2x (0,b,0,0) + x e^-2x (0,0,c,0) + e^-2x (0,0,0,d), (a,b,c,d)R^4}
Donc E est l'ensemble des c.l. des vecteurs (a,0,0,0), (0,b,0,0), (0,0,c,0) et (0,0,0,d).
En notant F la famille de ces quatre vecteurs, on obtient que F est une famille génératrice de E.
Ensuite je montre que F est libre et donc que F est une base...
Mais est-ce qu'il ne faut pas plutot que j'écrive :
E = {e^2x (ax,b,0,0) + e^-2x (0,0,cx,d), (a,b,c,d)R^4}
ou même :
E = {e^2x (ax+b,0) + e^-2x (0,cx+d), (a,b,c,d)R^4}
Merci de votre aide.
Bonjour
Donc E est l'ensemble des c.l. des vecteurs (a,0,0,0), (0,b,0,0), (0,0,c,0) et (0,0,0,d).
Plutôt: Donc E est l'ensemble des c.l. des vecteurs (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) et (0,0,0,1).
Tu as montré que ces 4 vecteurs sont générateurs de E.
Il faut montrer maintenant que ce système est libre, cad a u1+b u2+c u3+d u4 = 0 implique (a;b;c;d) = (0;0;0;0)
Bonjour jeanseb,
donc je devrais plutôt écrire :
E = {a x e^2x + b e^2x + c x e^-2x + d e^-2x, (a,b,c,d)R^4}
= {a x e^2x (1,0,0,0) + b e^2x (0,1,0,0) + c x e^-2x (0,0,1,0) + d e^-2x (0,0,0,1), (a,b,c,d)R^4}
Donc E est l'ensemble des c.l. des vecteurs (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) et (0,0,0,1).
En notant F la famille de ces quatre vecteurs, on obtient que F est une famille génératrice de E.
Et ensuite :
Soit (alpha, beta, gamma, delta)R^4.
Montrons que 
x e^2x (1,0,0,0) + 
e^2x (0,1,0,0) + 
x e^-2x (0,0,1,0) + 
e-^2x (0,0,0,1) = 0 => alpha = beta = gamma = delta = 0
Or :
x e^2x (1,0,0,0) + e^2x (0,1,0,0) + x e^-2x (0,0,1,0) + e-^2x (0,0,0,1) = 0
<=> x e^2x = 0
e^2x = 0
x e^-2x = 0
e-^2x = 0
<=> alpha = beta = gamma = delta = 0
Est-ce cela ? Dans l'énoncé de l'exercice il y a écrit "pour montrer l'indépendance linéaire des vecteurs de cette base, on pourra utiliser des considérations de limite en + et - l'infini" ; or je ne l'utilise pas (d'où mon inquiétude...)
Merci.
donc je devrais plutôt écrire :
E = {a x e^2x + b e^2x + c x e^-2x + d e^-2x, (a,b,c,d)R^4}
= {a x e^2x (1,0,0,0) + b e^2x (0,1,0,0) + c x e^-2x (0,0,1,0) + d e^-2x (0,0,0,1), (a,b,c,d)R^4}
Pas exactement (mon intervention n'a pas été claire, elle portait sur un autre aspect):
Soient
u1 la fonction x ---> x e2x
u2 la fonction x ---> e2x
u3 la fonction x ---> x e-2x
u1 la fonction x ---> e-2x
Alors E = {au1+bu2+cu3+du4, (a;b;c;d)
IR4}
(1,0,0,0), par exemple, est l'écriture de u1 dans le "système" (u1;u2;u3;u4), mais qui n'est pas une base puisque tu ne l'as pas démontré encore. Or, ta démonstration prend en compte le résultat "c'est une base", donc tourne en rond.En effet, avant que (u1;u2;u3;u4) ne soit établi comme base, il n'y a pas unicité de la décomposition, c'est a dire des composantes.
Bref, il faut démontrer que ce système est libre, cad a u1+b u2+c u3+d u4 = 0 implique (a;b;c;d) = (0;0;0;0)
Pour cela, tu peux trouver 4 equations indépendantes, avec les 4 inconnues a,b,c,d:
* en prenant x = 0, ça donne:
b+d = 0
* avec la limite en +oo (mettre xe2x en facteur):
a = 0
* avec la limite en -oo (mettre xe-2x en facteur):
c = 0
* termine,par exemple avec x = 1
Tu démontres ainsi que a=b=c=d=0 et donc le système est libre, et comme il est générateur, c'est une base.
Remarque: tu n'as pas démontré d'abord que c'est un espace vectoriel. Il faudrait le faire...
Soit F l'ensemble des fonctions de R dans R. c'est un espace vectoriel (c'est dans ton cours).
Tu démontres que E est un sous-espace vectoriel de F en démontrant les 3 propriétés:
* E n'est pas vide (Id est élément de E)
* La somme de 2 elements de E est element de E
* le produit d'un element de E par un réel k est un element de E
Tu prends f dans E (définie par a,b,c,d) et g dans E (a',b',c',d') et un réel k , tu calcules et tu montres que le résultat est à chaque fois dans E...A toi!
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac