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Espace vectoriel
Bonjour, j'ai un exercice dans mon DM ou je bloque un peu .
Soit E l'ensemble de fonctions polynômes définies sur R et à valeur dans R.
Soit P0 une fonction polynôme fixée de E.
Soit ф l'application de E dans E qui à un polynôme P associe le reste de sa division euclidienne par P0.
Montrer que ф est une application linéaire et que ф est une projection vectorielle sur un sev E1 parallèlement à un sev E2. Identifiez E1 et E2.
Pour montrer que c'est une application linéaire, là aucun problème, mais pour le reste je bloque.
ф est une projection vectorielle sur un sev E1 parallèlement à un sev E2
donc (d'après le cours) Inv ф = E1 et Ker ф = E2
mais je ne vois pas comment je peux l'utiliser...
Bonjour,
Ben deja tu peux identifer assez facilement le noyau de ton application, non?
Quid de son image?
Bonjour
Soit q le degré de Po, 
(P) est un polynome de degré < q, donc de degré au plus q-1.
Donc est à valeurs dans Rq-1[X], espace vectoriel des polynomes de degré inférieurs ou égaux à q-1. Donc E1 = Rq-1[X]
Tu vois aussi que ((P)) = (P), puisque l'image du reste est le reste lui-même.
Donc o= donc est un projecteur.
L'espace E2 est formé des vecteurs dont l'image par est le vecteur nul: ce sont les polynomes dont le reste de la division par Po est 0, donc ce sont les multiples de Po, qui forment un espace vectoriel.
Merci.
J'ai une dernière petite question, je ne comprend pas la notation Rq-1[X], à quoi correspondrai R et [X] dans cette notation?
q-1Je pense que c'est ça, mais bon je ne peux pas t'aider plus... je ne sais pas non plus à quoi correspond [X]
Bon courage
Bonjour,
désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à q-1
Bonjour,
D'ailleurs jeanseb (salut 
) l'avait dit : "Rq-1[X], espace vectoriel des polynomes de degré inférieurs ou égaux à q-1" 
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