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espace vectoriel

Posté par
clasp 29-01-09 à 11:27

J'ai des dificultés avec l'exercice suivant :
Soit[X]₄l'espace vectoriel des polynomes sur de degré 4 et B:=(1+X, X²+X³, X³, X+X⁴, X⁴)
Soit l'endomorphisme : $\varphi:\mathbb{Q}[X]_{\leq 4}\rightarrow \varphi:\mathbb{Q}[X]_{\leq 4}$ défini par :
$\varphi(1):=-X,\varphi(X):=-3-2X,\varphi(X^2):=-1+X+5X^4,$ $\varphi(X^3):=-X^2+3X^3,\varphi(X^4):=-4+5X^4$

a) montrer que B est une base de [X]₄
b) donner la matrice $M^B_B(\varphi)$

Posté par re : espace vectoriel 29-01-09 à 11:54

Bonjour.

a) Etudie :

$2$\textrm a.(1+X) + b.(X^2+X^3) + c.X^3 + d.(X+X^4) + e.X^4 = O$ .

b) A l'aide des données de l'énoncé, calcule :

$2$\textrm \phi(1+X) ; \phi(X^2+X^3) ; \phi(X^3) ; \phi(X+X^4) ; \phi(X^4)$

Et exprime les résultats sur B.

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