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Espace vectoriel
Bonjour à tous je suis complètement bloqué face à cette nouvelle matiere qu'est l'algèbre linéaire.
En effet mon prof m'a donné 2 exercices a faire , mais impossible de débuter , j'ai pas vraiment compris le cours..
Exercice 1
Dans R^3 on considere 3 vecteurs , u=(1,0,-2), v=(4,1,0),w=(1,1,1). Montrer que ces vecteurs constituent une base de R^3 . Alors je sais qu'une base est un ensemble de vecteur indépendants et genegénérateurs. Mais alors la..^^
Exercice 2
Soit F =(x,y,z) tel que x-y+2z=0 , verifier que F est un plan vectoriel de R^3. En trouver une base..
Soit G la droite vectorielle engendrée par (1,-1,2) montrer que R^3 = F +(somme directe) G
Je suis vraiment perdu , si quelqu'un peut maider...merci beaucoup.
salut
voila ce que j'ai trouvé, je ne sais pas si c'est juste ou pas, mais bon. alors
exo1: d'abord la famille des vecteurs ( u v w ) est de cardinal 3 donc il suffit de montrer que c'est une famille libre, pour cela on pose la matrice ( colones ou bien ligne) de ces trois vecteurs et on l'échelonne, on trouve en fin de compte que son rang est trois, donc la famille est libre. et par suite c'est une base de R3.
exo2:
soient x,y et z de R vérifiant l'équation x-y+2z=0, en écrivant x,y et z sous forme de matrice colone on trouve que cet espace vactoriel est un e v engendré par deux vecteurs, et s'écrit comme suit: F= Ru+Rv avec u et v deux vecteurs colones.donc F est un plan de R3
pour la somme de F et la droite, il suffit ( je crois) d'écrire la doite (D) comme suit: (D)=Rw avec W=(1 -1 2)
et on montre que la famille( u v w) est libre donc un base de R3( son card=3) et par suite (D)+F=R3
c'est ce que je pense. à vérifier.
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