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espace vectoriel
bonjour,
soit gn: x
exp(-nx), montrer que pour tout n de 
la famille (g0,g1,...,gn) est libre dans 
.
je ne comprends pas comment il faut faire car:
pour (
0,...,n) de :
= 0
0 + 1e-x +...+ ne-nx=0
donc si 0= -1e-x -...- ne-nx alors 
=0 et (g0,...,gn) est liée car 0
0
pourriez vous m'éclairer merci
Bonsoir.
x est variable, donc tu ne peux pas écrire 0 en fonction de x.
Pense à un raisonnement par récurrence.
donc par récurrence:
initialisation: pour n=0 on a 0=0 
vraie pour n=0
transmission: on suppose que pour tout n ( ) = 0 
(0,...,n)=(0,...,0)
on le montre au rang n+1:
et donc par l'axiome de récurrence on peut dire que la famille est libre
pourriez vous me dire si c'est bien ca?
Non. Avec cette méthode on pourrait prouver que n+1 vecteurs d'une espace de dimension n sont indépendants.
Je te propose ceci.
On suppose donc par récurrence que ( g0 , ... , gn-1 ) est libre.
Multiplions les deux membres par exp(x) :
Si a0 était non nul :
Ce n'est donc pas possible. Ceci montre que : a0 = 0
Il reste donc :
L'hypothèse de récurrence donne alors : a1 = ... = an = 0
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