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Espace vectoriel
Bonjour
Considérons le 
-ev ,E=C°(,) des fonctions continues de dans
F={f
E, 
[0,1] f(t)dt=0 , f(1)=0}
La première question était de montrer que F est un ss-ev. Je l'ai monté en disant que F était l'intersection de deux Ker de fonctions linéaires[...]
Par contre pour la deuxième question on me demande de donner un supplémentaire, c'est sur cette question que je bloque
Merci d'avance
Bonjour, riep-b
On peut prendre pour G l'ensemble des fonctions qui s'écrivent sous la forme f(x)=ax+b.
Il est facile de montrer que G est un sous_espace vectoriel et que l'intersection de F et G est réduite au vecteur nul (donc, F et G sont en somme directe).
Il reste à montrer que E = F+G .
Mais je te laisse d'abord vérifier que tu as compris ce qui précède
je comprend juste pas comment vous avez réussi à déterminer la forme de G
Sinon je voulais aussi savoir si il y avait une méthode générale pour déterminer des supplémentaires.
je comprend juste pas comment vous avez réussi à déterminer la forme de G
F est l'intersection des noyaux de deux formes linéaires indépendantes. Un supplémentaire de F est donc sans doute de dimension 2 (ce résultat est dans le cours de Spé MP pour les espaces de dimension finie, mais ici, on est en dimension infinie).
Dans l'espace des fonctions continues, les sous-espaces de dimension finie les plus simples que je connaisse sont les espaces de fonctions polynomiales, et notamment celui que j'ai donné.
Sinon je voulais aussi savoir si il y avait une méthode générale pour déterminer des supplémentaires.
Il y a des méthodes, mais pas une méthode générale (pour la bonne raison qu'un sous-espace admet une infinité de sous-espaces supplémentaires). En dimension finie, on pourrait prendre une base B_1 du sous-espace, la compléter en une base B de l'espace, et prendre comme supplémentaire de F le sous-espace engendré par les éléments de B-B_1. Mais ce n'est pas une très bonne idée; en général, il vaut mieux choisir un sous-espace particulièrement adapté à l'exercice qu'on est en train de traiter.
On peut aussi choisir le sous-espace orthogonal de F (dans ce cas, on est dans un espace euclidien ...)
je ne vois pas comment m'y prendre sachant que F est définie par 2 noyaux ... Il faut que je traite un cas après l'autre ou dois je les traiter ensemble Petite indication ?
Soit f un élément de E.
On cherche à le décomposer sous la forme
f(x)=g(x)+ax+b
avec g dans F
Donc f(1)=g(1)+a+b f(1)=a+b
Ces deux équations nous donnent une unique solution pour a et b...
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