Bonjour , je reprends ton dernier systeme en le modifiant : tu as combine la 1ere ligne avec les suivantes , ok

x - y + z - t = x'
  -2y      -2t  = x' - y'
             0 = x'+z'
      - 2z + 2t = x' + t'
je reeordonne ces lignes :

x - y + z - t = x'
  -2y      -2t  = x' - y'
      - 2z + 2t = x' + t'
               0=x'+z'
le systeme formé par les 3 premieres lignes a toujours des solutions ( x,y,z s'expriment en fonction de x',y',t' et t ) donc une CNS pour que le systeme a 4 lignes ait des solutions est que x'+z'=0 c'est ca l'equation cartesienne de Im(u)
tu es dans un lycee de quel pays si ce n'est pas indiscret?

Merci .. je suis bete, faut d'inattention ...
je suis en france pourquoi j'ai ecris autre chose dans mon profil ?

Par contre en ce qui concerne les autres questions je stagne !

Bonjour,

pourrais-tu nous confirmer que tu es bien en Terminale ?

Car cet exercice ne fait pas partie du programme de Terminale S de France, donc on a quelques doutes ...

en term lycee normal on t'enseigne des espaces vect? ???
u(V3)=2V3 je crois
resolvons pour chercherc v4:

x - y + z - t = 2x-1
x + y + z + t  = 2y+1
-x + y - z + t = 2z+1
- x + y - 3z + 3t = 2t+1

-x - y + z - t = -1
x - y + z + t  = +1
-x + y -3 z + t = +1
- x + y - 3z + t = +1
la dernier ligne est inutile
-x - y + z - t = -1
x - y + z + t  = +1
-x + y -3 z + t = +1

-x - y + z - t = -1
  -2 y +2 z     = 0
+2 y -4 z + 2t = 2 donc y=z


-x - t = -1
-2z+2t=2
y=z


x=1-t; z=-1+t,y=-1+t
donc v4(1,-1,-1,0) convient sauf ereur!!

Je suis daccord pour u(v3) = 2. v3
c'est ce qu'un ami à trouver ... mais le truc c'est quoi moi je ne comprends pas comment on trouve
u(v3) = -2
         2
         2
         2

En effet je ne suis pas en terminale .. Je pensais avoir posté le mess dans "superieur"..
Dsl.

Pour la suite :
On pose v1 = u(e1). montrer que Base (Im) = (v1,v3,v4) est une base de Im (u).
Justifier que la somme ker(u) + Im (u) n'est pas directe.
merci

Lisa.

Oula .. nombreuses erreurs :
je reprends le mess :

Je suis daccord pour u(v3) = 2. v3
c'est ce qu'un ami à trouvé ... mais le truc c'est que moi je ne comprends pas comment on trouve
u(v3) = -2
         2
         2
         2

En effet je ne suis pas en terminale .. Je pensais avoir posté le mess dans "superieur"..
Dsl.

Pour la suite :
On pose v1 = u(e1). montrer que Base (Im) = (v1,v3,v4) est une base de Im (u).
Justifier que la somme ker(u) + Im (u) n'est pas directe.
merci

Lisa.

pour
u(v3) = -2
         2
         2
         2

dans
x - y + z - t = x'
x + y + z + t  = y'
-x + y - z + t = z'
- x + y - 3z + 3t = t'

tu fais x=-1, y=z=t=1 qui sont les coordonnées de u(e2)=V3

elisabeth1990 >> alors si tu n'es pas en terminale, pense à mettre ton profil à jour.

Dac Jamo, ce sera fait

Par contre, comment je dois proceder pour :
On pose v1 = u(e1). montrer que Base (Im) = (v1,v3,v4) est une base de Im (u).
Justifier que la somme ker(u) + Im (u) n'est pas directe.

merci.

Je penser montrer que le système (v1,v3,v4) est libre dans Im(u) mais ...

v1=u(e1) est dans Im (u)
v3=u(e2) est dans Im (u)
v4=0.5(u(v4)-v3)=0.5(u(v4)-u(e2)) est encore dansIm(u), reste à voir qu'ils forment une famille libre car vu l'equation de Im(u) c'est un hyperplan de R4 donc de dimension 3, j'ecris les coord horizontalement :

1;1;-1;-1
-1;1;1;1
1;-1;-1;0
sont bien lineairement indep

D'accord .. j'ai utilisé une autre methode, du moins j'ai detaillé les calculs proposés ... sous forme de systeme, j'ai montré que alfa1 = alfa 2 = alfa 3 = 0 .. que (v1, v3, v4) est une famille libre ...

Bref, par contre, comment faire pour jsutifier que la somme ker(u) + Im (u) n'est pas directe ?
merci encore

car V1=u(e1) est a la fois dans ker u et Im u car si tu prends x=1,y=1,z=-1;t=-1 dans
x - y + z - t = x'
x + y + z + t  = y'
-x + y - z + t = z'
- x + y - 3z + 3t = t'

tu trouveras x'=y'=z'=t'=0