Bonjour,

s'il était de dimension finie n, alors il serait isomorphe (en tant qu'espace vectoriel) à ;

en particulier, il serait en bijection avec cet ensemble, et R serait donc dénombrable; or, cela est faux!

pourquoi R serait denombrable ? Q^n est denombrable? je comprends pas

sinon ma prof a donné une aide selon laquelle on peut considerer la famille ln(i) avec i qui varie dans les entiers premiers mais je vois pas du tout le rapport

Pourquoi R serait dénombrable?
Mais parce qu'un ensemble en bijection avec un ensemble dénombrable l'est aussi!
Or Q est dénombrable, et toutes ses puissances entières aussi.

OK, sinon de façon plus élémentaire, on peut aussi suivre les indications de ta prof.

Pour montrer qu'un espace n'est pas de dimension finie, il suffit d'exhiber une famille libre infinie de cet espace.

Ta prof te propose de prouver que c'est le cas pour la famille {(ln(j)), j premier}.

Pour cela, il faut prouver que si une combinaison linéaire finie quelconque à coefficients rationnels d'éléments de cette famille est nulle, alors les coefficients sont nuls.

C'est très simple en écrivant les choses et en utilisant les propriétés du logarithme.

merci beaucoup

Je t'en prie.

N'hésite pas à reposter ta démonstration si tu n'en es pas sûre.