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Espace vectoriel
Bonsoir !
Alors voilà je suis en première année de licence maths et j'ai un devoir à rendre pour la rentrée.
Voici l'énoncé :
Soient les vecteurs de l'esp. vectoriel canonique 
4 :
v1=(1,1,1,1) ; v2=(0,1,1,0) ; v3=(0,0,-2,0)
On définit le sous-ensemble suivant :
F={ v 
4 ; 
(x,y,z,t) 4 tel que v = (x+y+z+t)v1 + (x-y-z-2t)v2 + (2x-t)v3 }.
1°) Citer un ex. de vecteur v0 non-nul et appartenant à F.
J'ai donc mis : x=1,y=0,z=0,t=0 et donc v0=v1+v2+2v3
Soit v0=(1,2,-2,1).
2°) Montrer que la famille (v1,v2,v3) est libre.
J'ai montré que s'il existait 
,
,
tel que :
v1+v2+v3=(0,0,0,0) alors ===0.
3°) Résoudre le système suivant :
| x + y + z + t = 1 (1)
-| x - y -z - 2t = 0 (2)
| 2x - t = 0 (3)
En ajoutant (1) et (2) on a : 2x - t = 1 et donc impossible car (3) : 2x - t =0
4°) Soient les vecteurs :
w1=v1+v2+2v3
w2=v1-v2
w3=v1-2v2-v3
a) Soit v F, exprimer v en fonction de w1,w2 et w3 et en déduire que F est un sous-espace vectoriel de 4.
Alors j'ai fait :
v F
donc v=(x+y+z+t)v1 + (x-y-z-2t)v2 + (2x-t)v3
v=x(v1+v2+2v3) + y(v1-v2) + z(v1-v2) + t(v1-2v2-v3)
v=xw1 + (y+z)w2 + tw3
Voilà et maintenant comment en déduire que F est un sous-espace vectoriel de 4 svp ?
J'ai trouvé que w1,w2 et w3 appartenaient à F (je ne l'ai pas écrit ici) et que v1,v2 et v3 n'appartenaient pas à F (car le syst. n'a pas de solution)
Merci beaucoup.
Ah si j'ai peut-être trouvé mais pouvez-vous me confirmer ?
On a : v = xw1 + (y+z)w2 + tw3
(x,y,z,t) 4.
Donc v est une combinaison linéaire de w1,w2 et w3.
Donc il existe ,,
4 tel que tout vecteur v de F se décompose de la façon : v = w1 + w2 + w3.
Donc F=vect(w1,w2,w3).
Donc F est un sous-espace vectoriel de 4[/sup] (car c'est un sous-espace engendré par des vecteurs de [sup]4).
Est-ce correct ?
Merci.
bonjour
tu as déjà vu les sous espaces vectoriels engendrés et les sommes de ss espace vectoriels ?
alain
ce que tu dis est ... presque correct.
Il faut aussi penser à la réciproque (mais sans difficulté ici) :
c'est à dire montrer que toute combinaison linéaire aw1+bw2+cw3 peut s'écrire sous la forme xw1+(y+z)w2+tw3
et alors F sera bien ce ss espace engendré par les w
Lol merci 
Donc ce que j'ai fait est bon ?
Par contre j'ai du mal à passer de :
On a : v = xw1 + (y+z)w2 + tw3
à : Donc il existe a,b,c 4 tel que tout vecteur v de F se décompose de la façon : v = aw1 + bw2 + cw3.
Ben voilà c'est exactement à l'endroit où il me manque la réciproque^^
Je vais donc faire ça
Merci beaucoup^^
en fait toi tu n'as montré que F
Vect(w1,w2,w3)
cela ne suffit pas...
regarde : on avait bien Fvect(v1,v2,v3) ...
mais F n'est pas égal à ce ss espave vectoriel engendré (puisque à la question 3 tu as montré que v1 n'est pas dans F)
Pour la réciproque suffit-il de dire :
Soit v vect(w1,w2,w3)
donc ,, 4 tel que v = w1 + w2 + w3.
Soient (x,y,z,t)4 tels que :
=x
=y+z
=t
Donc il existe (x,y,z,t)4 tel que v = xw1 + (y+z)w2 + tw3
donc v F
oui... il faut trouver x,y,z,t en fonction des alpha beta gamma cette fois...
c'est tout bete : x=alpha, y=0, z=beta, t= gamma (par exemple car il n'y a pas unicité)
Par contre, une autre façon de montrer qu'un ensemble F est un sous-espace vectoriel de 4 on peut montrer que :
- le vecteur nul de 4 (0,0,0,0) appartient à F ;
- , et u,v F : u+v F
Pour le premier, c'est facile, on dit que x=0,y=0,z=0,t=0.
Et ensuite pour le second, on peut dire que si elle est vérifiait alors :
- ,, et w1,w2,w3 F : w1+w2 + w3 F.
Ceci est vrai. Donc F s.e.v. de 4.
Ce raisonnement est-il correct ?
le premier raisonnement est plus simple et surtout plus clair !
allez, je vais manger,
bonne soirée
alain
Ensuite, voici la question 5°) :
La famille V=(v1,v2,v3) est-elle une base de F ?
On sait que V est une famille libre ( question 2°) ).
Il reste à montrer que la famille V est génératrice de F, c'est-à-dire que tout vecteur de F se décompose dans V.
Ceci est facile car
si vF
alors v = (x+y+z+t)v1 + (x-y-z-2t)v2 + (2x-t)v3.
Donc V base de F...
Est-ce correct ?
Car sinon pour dire que V base de F, il faut montrer que tout vecteur v de F se décompose de manière unique dans V.
Et comment montrer cela ?
On peut montrer qu'il se décompose dans F et comment montrer que c'est unique ?
Dans mon premier raisonnement, ceci vient du fait que V est libre, mais comment ne pouvons-nous pas faire autrement ?
Merci
non !
v1,v2,v3 est bien libre....
Mais v1 n'est même pas dans F (regarde ta question 3)
donc elle aura du mal à être une base de F...
alain
A ok d'accord ^^
C'est pour ça qu'avant la question le prof a écrit (question piège...) ^^
Il suffit de dire que v1 n'est pas dans F.
Ensuite j'ai du faire pareil avec W=(w1,w2) mais là ça marche.
Et à la fin on me dit :
Soit H={(x,y,z,t)4 tel que x-y+3z+t=0}.
a) On doit montrer que c'est un sev. J'ai montré ça en vérifiant les propriétés d'un SEV.
b) Déterminer une base de H.
J'ai trouvé : base de H = (h1,h2,h3) avec
coord h1=[-1 0 0 -1]
coord h2=[-3 0 1 0]
coord h3=[1 1 0 0]
Ensuiteje dois montrer que H
F est un sev de 4 et en déterminer une base.
C'est la fin de l'exercice.
Je bloque sur cette dernière question...
Faut-il que je caractérise H ? j'ai fait des systemes d'équations mais je bloque... 
Merci !
déjà, l'intersection de deux sev est un sev...
ensuite... tu as démontré avant que (w1,w2) est une base F ?
Toute façopn c'est normal,
y'a une question je devais déterminer un systeme d'equation de F
Et j'ai trouvé pour u=(x,y,z,t)F on a x=t et y+z=0
oui, je suis d'accord
ben avec ces deux équations et celle de H, cela te fait un système de 3 équations à 4 inconnues (donc au moins un paramètre)... résout ce système... tu trouveras H inter F.
alain
A oui voilà je suis bête^^
En plus on avait vu ça en cours mais là je faisais des systemes d'equations, avec celle de H mais après pour F je me servais pas de celle trouvé précédemment...^^
Bon je pense que je devrais trouver^^
Maeuh non t'es pas bête... mais parfois on passe devant des choses simples sans les voir et on aime bien se compliquer la vie ! cela nous arrive à tous !
Donc voilà je trouve :
u(x,y,z,t)FG x=-2a, y=(1/2)a , z=(-1/2)a et t=a ; a.
Enfin je trouve u=(x,y,z,t)=a*(-2,1/2,-1/2,0)
Donc FG = vect(k) avec k=(-2,1/2,-1/2,0) donc c'est une droite de vecteur directeur k.
Est-ce-correct ?
Ensuite, il faut en déterminer une base, c'est donc (k).
Car (k) est forcément libre et vect(k)=FG.
Correct?^^
impeccable !
euh, juste une petite erreur sur la dernière coordonnée de ton "k"... ce doit être un 1 et non un 0
si tu veux éviter les fractions, paramètre avec t=2a... tu obtiendra comme vecteur directeur (-4,1,-1,2)
je crois qu'on a fait le tour et que tu as compris...
attention aux pièges !
alain
Ah oui oui correct c'est bien un 1^^
La fatigue on va dire... 
En tout cas je vous remercie beaucoup pour tout le temps que vous m'avez consacré =)
Bonne nuit et je ferais bien attention aux pièges pas de probleme^^
Benjamin.
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