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Espace vectoriel

Posté par
deruedavid 09-03-09 à 11:35

Je suis perdu dans un exo :

Soit E le sous-ensemble de F(]-1;1[,) constitué des fonctions f telles qu'il existe (a,b,c,d) 4 tel que x]-1;1[  :

5$ f(x)= a\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + b\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} + \frac{c}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} .

Il faut montrer que (E,+,.) est un espace vectoriel sur et en donner une base.

J'ai vu que f pouvait aussi s'écrire sous la forme :

5$ f(x) = (a + \frac{c}{2} - \frac{d}{2})\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + (b + \frac{c}{2} + \frac{d}{2})\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} .

A partir de là, est-ce que je peux poser 5$ \lambda_1 = a + \frac{c}{2} - \frac{d}{2}   et  5$ \lambda_2 = (a + \frac{c}{2} + \frac{d}{2})  et dire que la famille génératrice de E est { (\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} , \sqrt{\frac{1+x}{1-x}})} ? et même qu'elle est libre car si \lambda_1\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = 0 et \lambda_2\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = 0 alors \lambda_1 = \lambda_2 = 0 ???

Ou alors me trompe-je complètement, ce qui est fort possible...

Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plaît ? Merci

Posté par
PILre : Espace vectoriel 09-03-09 à 12:35

Bonjour,

Juste une petite erreur : pour "libre" tu dois vérifier que si 2$\rm \lambda_1 \sqrt(...) + \lambda_2 \sqrt(...) = 0 , alors  2$\rm \lambda_1 = \lambda_2 = 0.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Espace vectoriel 09-03-09 à 12:40

Bonjour,

je suis d'accord avec ta décomposition de f.Tu peux en effet en déduire qu'une (et pas "la") famille génératrice de E est celle que tu indiques.

En revanche, pour prouver que c'est une base, tu dois montrer que si 3$\lambda_1\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} +\lambda_2\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = 0 , alors 3$\lambda_1=\lambda_2=0 , et non ce que tu as écrit.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Espace vectoriel 09-03-09 à 12:40

Bonjour PIL, je ne t'avais pas vu, désolé!

Posté par
PILre : Espace vectoriel 09-03-09 à 18:04

Salut Tigweg, pas de problème !  

Posté par
deruedavidre : Espace vectoriel 09-03-09 à 21:55

Merci... oui je me suis rendu compte de mon erreur après.

Encore merci +++

Posté par
Tigweg Correcteurre : Espace vectoriel 09-03-09 à 21:56

Pas de quoi en ce qui me concerne.


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