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Espace Vectoriel
Bonjour à Tous ! Je vous expose l'énoncé d'un exercice que j'ai du mal à résoudre !
Soit E un espace vectoriel de dimension 3, de base B = (e1,e2,e3) soit f1 = e2 + e3 , f2 = e1 + e3 , f3 = e1 + e2.
1a. Montrer que B'=(f1,f2,f3) est une base de E.
1b. Soit u un vecteur de coordonnée (x,y,z) dans la base B et (x',y',z') dans la base B'.
Déterminer x', y', z' en fonction de x, y, z.
Voilà je n'avance pas plus dans l'énoncé car je coince déjà pour ces deux premières questions..
Quelqu'un pourrait-il me lancer un chemin de réflexion ?
Par avance merci bcp ! =)
Bonjour
Montre que les f sont linéairement indépendants; comme ils sont 3 dans un espace de dimension 3, ça suffit. Pour les coordonnées, c'est un simple système.
je vois tout à fait le fait que les f soit indépendant ça parait fort logique d'un seul coup d'oeil mais comment pourrais-je le justifier par écrit ?
est-il possible de trouver le système suivant comme système pour déterminer x' y' et z' !
x = x' [ (e2+e3)/e1 ]
y = y' [ (e1+e3)/e2 ]
z = z' [ (e1+e2)/e3 ]
Merci de m'en dire un mot...
Tu écris en fonction des
et tu prouves que les scalaires sont nuls.
x = x' [ (e2+e3)/e1 ]
y = y' [ (e1+e3)/e2 ]
z = z' [ (e1+e2)/e3 ]
Ceci est une énormité! Les
Alors
Tu remplaces les
oui c'est ce que j'ai fait tout à l'heure
et je retombe sur :
x.e1 = x' (e2 + e3)
y.e2 = y' (e1 + e3)
z.e3 = z' (e1 + e2)
( j'ai compris qu'il ne fallait pas diviser les vecteur comme les réels ! Mais par suite comment poursuivre ??
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