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Espace Vectoriel

Posté par
fifou12 02-09-09 à 17:46

Coucou à tous ! ça yest de retour après un long périple de vacances qui ne fait qu'un grand bien.
Petite question à propos d'un exercice dont voici l'énoncé :

Soient F et G les sous-espaces vectoriels de F(R,R) engendrés respectivement pas : S (e0,e1,e2,e3) et T (f0,f1,f2,f3)
e0 = 1
e1 = cos x
e2 = (cosx)^2
e3 = (cosx)^3


f0 = 1
f1 = cos x
f2 = cos(2x)
f3 = cos(3x)

1- Exprimer e0,e1,e2,e3 en fonction de f0,f1,f2,f3, et réciproquement. Montrer que F = G.

Le départ sans trop de difficulté, Mise à par pour f3, que je n'arrive à décomposer... Pour ça j'aurai besoin d'un petit coup de pouce ???

Ensuite, pour F = G, je suis parti dans le calcul des dimensions de chacun des ev. Ayant trouvé les deux dimensions égale à 2. est-ce correct ? ( je suis parti admettons pour F avec F = Vect (f0,f1), f2 et f3 sont dépendant de ces deux là, et j'ai intuité en fait pour f3 qu'il dépendait )

Que pouvait vous me dire jusque là ?
Partant de ce résultat il ne me reste plus qu'à montrer l'inclusion de F dans G. ( Là par contre je n'arrive pas à démarrer)

Par avance merci de m'avoir lu et de vos réponses. Bonne soirée à tous(tes).

Posté par
raymond Correcteurre : Espace Vectoriel 02-09-09 à 17:58

Bonsoir.

Avec cos(3x) = cos(2x+x) tu arriveras à :

cos(3x) = 4cos3(x) - 3cos(x)

Donc : f3 = 4.e3 - 3.e1

Posté par
fifou12re : Espace Vectoriel 02-09-09 à 18:46

Ok. Merci pour le départ ! La suite sur les dimensions vous semble-t-elle bonne ?

Posté par
raymond Correcteurre : Espace Vectoriel 02-09-09 à 19:58

considérons les fonctions

2$\textrm f_1 : x \rightarrow \ 1

2$\textrm f_2 : x \rightarrow \ cos(x)

2$\textrm f_3 : x \rightarrow \ cos^2(x)

2$\textrm f_4 : x \rightarrow \ cos^3(x)

Ce sont quatre éléments du IR-espace vectoriel des fonctions de IR vers IR

Pour étudier leur indépendance, on écrit :

2$\textrm a_1.f_1 + a_2.f_2 + a_3.f_3 + a_4.f_4 = O (O = fonction nulle).

Cela signifie que, pour tout x réel :

2$\textrm a_1 + a_2.cos(x) + a_3.cos^2(x) + a_4.cos^3(x) = 0

En prenant x = /2, cela donne déjà a1 = 0

En prenant x = 0 et x = , cela donne :

2$\textrm \{{a_2 + a_3 + a_4 = 0\\-a_2 + a_3 - a_4 = 0

Par addition : a3 = 0

En prenant à nouveau x = /2, on obtient a2 = 0

Enfin, pour x = 0, a4 = 0.

Finalement dim(F) = 4


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