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Espace vectoriel

Posté par
fifou12 05-09-09 à 18:30

Une nouvelle énigme me pose pb ! Merci d'avance pour votre coup de pouce !
Soient E et F deux Kev. soit f une application linéaire de E dans F. Soit G et H deux sev de E.

1/ Mq f(G+H) = f(G) + f(H)

2/ Montrer que si f est injective et, si G et H sont en somme directe, on a f(G+H) = f(G) + f(H). [ avec des rond autour des 2 + ^^]

Je n'arrive pas à démarrer...

Posté par
Arkhnorre : Espace vectoriel 05-09-09 à 18:35

Bonjour.

Procède par double inclusions. Si y est dans f(G+H), alors il existe x dans G+H tel que f(x) = y.
On peut écrire x = g + h, avec g \in G et h \in H, par hypothèse sur x. On a donc : y = f(x) = f(g+h) = f(g) + f(h), par linéarité de f. A quel espace appartiennent f(g) et f(h) ?
Je te laisse faire l'autre inclusion.

Pour la 2), tu dois montrer que la somme est directe, par exemple en montrant que f(G) \cap f(H) = \emptyset.

Posté par
fifou12re : Espace vectoriel 05-09-09 à 19:13

ok pour le 1 j'ai mes deux inclusions ! J'ai donc l'égalité !
En revanche pour le deux je n'arrive pas à définir f(G) inter f(H) ...

( merci quand même Arkhnor )

Posté par
Arkhnorre : Espace vectoriel 05-09-09 à 19:29

Si y est dans f(G) et dans f(H), il existe g \in G, et h \in H tel que f(g) = y = f(h).
Par injectivité de f, on obtient g = h.

A toi de poursuivre.

Posté par
Arkhnorre : Espace vectoriel 05-09-09 à 19:31

Dans mon premier post, je voulais écrire "en montrant que f(G) \cap f(H) = \left{ 0 \right}" ...

Posté par
fifou12re : Espace vectoriel 05-09-09 à 19:53

Donc g-h = 0 et f(g-h)=0 ca voudrait dire g-h appartient a Kerf mais je pense que aucun rapport avec la question posée ! Je ne vois pas comment conclure !:/

Posté par
Arkhnorre : Espace vectoriel 05-09-09 à 19:58

Comme g = h et que g \in G et h \in H, on en déduit que g \in G \cap H.
Or par hypothèse, G et H sont en somme directe, et donc G \cap H = \left{ 0 \right}, par conséquent g = 0.

Ainsi y = f(g) = f(0) = 0 ...

Posté par
fifou12re : Espace vectoriel 05-09-09 à 20:12

Merci


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