Bonjour,

Suppose qu'il existe une combinaison linéaire nulle des f1,...fn, fn+1 :
a1.f1(x) + a2.f2(x) +...+ an.fn(x) + an+1fn+1(x) = 0
Ceci doit être vérifié pour toute valeur de x, en particulier pour x0 = -(n+1).
Mais en x0 = -(n+1), tu as fn+1(x0) = 0, donc :
a1f1(x0) + a2f2(x0) +...+anfn(x0) = 0
mais la famille {f1, f2,...fn} est libre, tu en déduis a1 = a2 = ... = an = 0
donc an+1fn+1(x) = 0, donc an+1 = 0

Il faut préciser que, en x0, on a f1(x0) 0, f2(x0) 0,...fn(x0) 0

merci "Lehibou".
j'ai trouvé une autre solution mais je ne la comprends pas.
c'est le fait de démonter que fi pour 1in est dérivable en -(n+1) (je sais pas pk) et f_n+1 non.
merci bcp.

Je vois à peu près...

La fonction x->|x| est dérivable partout sauf en 0, où elle n'a pas la même pente à gauche à droite (-1 à gauche, +1 à droite)
On en déduit que les fonctions de type |x+i|, i, sont dérivables partout sauf en -i, où elles n'ont pas la même pente à gauche à droite.
Ceci est vrai pour 1 i n
Donc pour 1 i n les fonctions |x+i| sont toutes dérivables en -(n+1)
En revanche la fonction |x+(n+1)| est dérivable partout sauf en -(n+1), où elle n'a pas la même pente à gauche à droite.
L'idée serait donc de dire : je suppose que j'ai une combinaison linéaire non nulle des fi, 1 i n+1 :
a1.f1(x) + a2.f2(x) +...+ an.fn(x) + an+1fn+1(x) = 0
Suppose que an+1 = 0, alors a1.f1(x) + a2.f2(x) +...+ an.fn(x) = 0
Mais la famille {f1, f2,...fn} est libre, tu en déduis a1 = a2 = ... = an = 0, donc tu n'as pas une combinaison linéaire non nulle.
donc an+1 0, et tu peux donc écrire, en isolant fn+1 des autres fi, i n :
fn+1(x) = (-1/an+1)(a1.f1(x) + a2.f2(x) +...+ an.fn(x))
Et la, tu considères ce qui se passe au point x0 = -(n+1) :
- à gauche, tu as une fonction fn+1 non dérivable en ce point
- à droite, tu as une somme (-1/an+1)(a1.f1(x) + a2.f2(x) +...+ an.fn(x)) de fonctions toutes dérivables en ce point, la somme est donc dérivable
d'où une contradiction, donc il n'existe pas de combinaison linéaire non nulle des fi, i n+1

C'est effectivement plus correct que ce que j'avais fait...

Bonjour,

La solution de LeHibou.....(22H49)  est fausse : la liberté des fonctions n'équivaut pas à la liberté en un seul point  x0  !!
Celle de 23h49 est correcte.

lolo271 a raison...

merci beaucoup pour vous deux.
une question:
Donc pour 1in les fonctions |x+i| sont toutes dérivables en -(n+1),comment tu as déduit ça ?
merci.

Reprend mon post d'hier à 23h49 :
L'unique point auquel |x| n'est pas dérivable est x = 0
on en déduit immédiatement que l'unique point auquel une fonction |x+i| n'est pas dérivable est x = -i
et -(n+1) n'appartient pas à {-1,...-n}, donc pour 1 i n, les fonctions |x+i| sont dérivables en x = -(n+1)

alors  les fonctions |x+i| sont dérivables en toute point qui n'appartient pas à
{-1,...-n}.
non ?

Oui, mais c'est même mieux que ça : chaque |x+i| n'a qu'un seul et unique point où elle n'est pas dérivable : c'est en -i. L'important, c'est que pour 1 i n, aucun de ces points n'est en -(n+1).
Prends un exemple avec n = 3, donc n+1 = 4 :
f1(x) = |x+1| est non dérivable seulement en -1, donc est dérivable en -4
f2(x) = |x+2| est non dérivable seulement en -2, donc est dérivable en -4
f3(x) = |x+3| est non dérivable seulement en -3, donc est dérivable en -4
et
f4(x) = |x+4| est non dérivable en -4

Grand merci pour toi "LeHibou".
Une question j'ai pas vraiment saisi cette phrase "L'important, c'est que pour 1  i n, aucun de ces points n'est en -(n+1)"
Est-ce qu'on peut choisir une autre point(-(n+1)) qui n'appartient pas à {-1,...-n} et démontrer que f_n+1 n'est pas dérivable à cette point ?
Est-ce que on a choisi -(n+1) comme point parce qu'on veut raisonner sur f_n+1 ?
je sais que mes questions sont stupides,mais je suis un peu confus.
merci.

Non, on ne peut pas changer de point. Par définition de la suite {fn}, on a fn+1(x) = |x+(n+1)|, et le seul point où fn+1 n'est pas dérivable est -(n+1). Et donc, comme tu l'as compris, on choisit -(n+1) parce qu'on veut raisonner sur fn+1 pour assurer l'hérédité dans la récurrence, et qu'il n'y a qu'en -(n+1) que fn+1 n'est pas dérivable.

"LeHibou" t'es Super !!
merci beaucoup pour tes belles réponses.

C'était un plaisir ! J'ai un peu cafouillé au début, comme lolo271 me l'a gentiment fait remarquer, mais après ça allait mieux, surtout grâce à la suggestion de ton post d'hier à 22h59. Pour être franc, sans cette piste, au pire je serais resté sur mon erreur, au mieux je serais peut-être encore en train de chercher
Bonne soirée !
LeHibou