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Espace vectoriel

Posté par
djuste 13-12-09 à 21:16

Bonsoir,

J'aimerais quelques conseils pour un nouvel exercice d'algèbre linéaire. J'ai répondu aux deux premières questions, mais coince sur la troisième. Cependant, si mes réponses aux deux première questions étaient imprécises, merci de me le signaler.

Tout d'abord, l'énoncé :

Soit n un entier naturel non nul, et \mathbb{R}_n l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n muni de la base canonique B=(1, X, ..., X^n).
On appelle L l'application linéaire définie sur \mathbb{R}_n par :
si P \in \mathbb{R}_n et \forall X\in\mathbb{R}_n, P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_n X^k alors \forallX\in\mathbb{R}_n, (L(P))(X)=\sum_{k=0}^{n}a_n X^{n-k}.

1) Montrer que L(P) est un endomorphisme de \mathbb{R}_n, préciser LoL

(L(P))(X) est un polynôme de même degré que P(X), donc Im(L)=\mathbb{R}_n[X] car L(P)\in\mathbb{R}_n

\mathbb{R}_n étant aussi bien l'ensemble de départ que l'ensemble d'arrivée, alors L est un endomorphisme.

2)Ecrire la matrice A de L dans B et préciser A^2

A=\(\begin{array}{cc} 0 & 0 & ... & 0 & 1\\0 & 0 & ... & 1 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... \\0 & 1 & ... & 0 & 0\\1 & 0 & ... & 0 & 0 \end{array}\)

LoL est la fonction identité donc A^2 est la matrice identité.

3) On considère les ensemble E1 et E2 : E1 =\{P\in\mathbb{R}_n[X]/ L(P)=P\} et E2 =\{P\in\mathbb{R}_n[X]/L(P)=-P\}

a) Montrer que E1 et E2 sont des sous-espaces supplémentaires de \mathbb{R}_n[X]. Donner leurs dimensions.

Là, ça coince !

En outre, je vois bien que si je prends des polynômes de E1 et E2, je peux former n'importe quel polynôme de \mathbb{R}_n[X]. Mais cela est-il suffisant pour montrer qu'ils sont supplémentaires ? De même, n'y aurait-il pas une histoire de vecteurs et valeurs propres dans ces sous-ensembles, puisque le cours d'algèbre portait justement sur ça ?

Je ne demande pas forcément la réponse, mais des indices qui pourraient m'aider...

b) Donner des bases B_1 et B_2.

Là aussi, ça coince. Pour former une base, il faut une base libre, laquelle doit être maximale ou génératrice. Là aussi, j'aurais besoin de conseils. En outre, je ne vois pas comment partir. Je sens bien une relation entre des valeurs propres et une base, mais je ne vois pas comment faire le lien.

c) Donner la matrice de L dans B'=B1\cupB2

Je pense pouvoir y arriver quand je saurai comment construire les bases des sous-espaces...

Merci par avance de votre aide.

Posté par
kybjmre : Espace vectoriel 13-12-09 à 21:47

La 1. est assez horrible :

  Posons un instant E = n  . Montre que
    .L est une application de E dans E
    .L est linéaire (car pour tout P et Q de E et tout s et t de L(sP + tQ) = sL(P) + tL(Q) =
     . L est bijective  (car L o L = IdE  )(

et tu auras montré ce qu'il faut

Posté par
djustere : Espace vectoriel 14-12-09 à 09:44

Bonjour,

L'énoncé indique déjà que L est une application linéaire, pourquoi le démontrer à nouveau ?

Effectivement, LoL=Id, donc L est une bijection.

Si une application linéaire est une bijection, est-elle alors automatiquement un endomorphisme ?

Posté par
kybjmre : Espace vectoriel 14-12-09 à 11:42

1.Quelle est la définition de endomorphisme ?

2.Tu dis "L'énoncé indique déjà que L est une application linéaire"
Et s'il y avait une erreur dans l'énoncé ?
De plus ça ne coûte pas cher du tout !

3.La matrice de L dans la base B =(1,X,....,Xn) est une matrice d'ordre n+1. Dans la colonne Ck ( la k-ème) tu mets les coordonnées de L(Xk) dans la base B.
C0 est la transposée de (1,0,0,...,0) puisque L1 = 1
L(X) = 1 - X donc C1 est la transposée de (1,-1,0,...,0)
L(X2) = 1 - 2X + X2 donc C2 est la transposée de (1,-2,0,1,0,...,0)

etc....

Posté par
djustere : Espace vectoriel 14-12-09 à 12:02

Merci pour ta réponse.

Je tâche de montrer que L est un endomorphisme. Je suis d'accord qu'il pourrait y avoir une faute dans l'énoncé.

Un endomorphisme est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble de départ.

Pour que L soit une application linéaire, il suffit de démontrer que :
- pour tout scalaire a et tout élément P de \mathbb{R}_n, L(aP)=aL(P)
- pout tout élément P et Q de \mathbb{R}_n, L(P+Q)=L(P)+L(Q)

Cela se montre simplement, donc L est une application linéaire.

Pour démontrer que L soit un endomorphisme, il faut montrer que Im(L)=\mathbb{R}_n. D'après moi, cela se montre aisément, car L(P) est un polynôme appartenant à \mathbb{R}_n. Donc \forall P\in\mathbb{R}_n, L(P)\in\mathbb{R}_n

Donc L est un endomorphisme.

Ce raisonnement convient-il ?


Pour la question 3)a), pourrais-tu m'indiquer comment faire ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Espace vectoriel 14-12-09 à 14:42

Bonjour

Un endomorphisme est une application linéaire dont l'image est CONTENUE dans l'espace de départ!

L'application nulle est un endomorphisme!

Posté par
djustere : Espace vectoriel 14-12-09 à 15:07

D'accord, j'ai bien compris.

Pourrais-je demander un peu d'aide pour la question 3)a) ?

Merci par avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : Espace vectoriel 14-12-09 à 15:25

Oui, bien sur.

D'abord il est clair que E_1\cap E_2=\{0\}. Ensuite, soit P quelconque.

On écrit P=\frac{1}{2}(P+L(P))+\frac{1}{2}{P-L(P)} et je te laisse vérifier que le premier est dans E_1 et le second dans E_2. (N'oublie pas que L o L=Id).

Tu peux utiliser des histoires de valeurs propres (1 et -1 sont les seules valeurs propres).

Pour les bases et les dimensions:

Je viens de voir que ton énoncé est faux! Je suppose qu'il s'agit de L(\bigsum_{k=0}^na_kX^k)=\bigsum_{k=0}^na_kX^{n-k}
Un polynôme tel que L(P)=P vérifie a_n=a_0, a_1=a_{n-1},... il y a un problème de parité sur n. Donc (1+X^n), (X+X^{n-1}),... est une base de E_1

Posté par
djustere : Espace vectoriel 14-12-09 à 15:48

Merci Camélia.

Concernant l'énoncé, tu as effectivement rectifié ma petite coquille, merci également.

Je voudrais demander une simple chose : si je peux construire n'importe quel polynôme de \mathbb{R}_n à partir de polynômes des ensembles E_1 et E_2, est-ce suffisant pour dire qu'ils sont supplémentaires ?

Quelle utilité puis-je tirer du fait que l'intersection de E_1 et E_2 ne contienne que l'élément nul ?

Merci pour m'avoir orienté sur P=\frac{1}{2}(P+L(P))+\frac{1}{2}(P-L(P)). Si je comprends bien, je dois montrer que P+L(P)\in E_1 et P-L(P)\in E_2 ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Espace vectoriel 14-12-09 à 16:16

En général:

Si tu peux écrire que tout élément de E est somme d'un élément de F et d'un élément de G, tout ce que tu peux affirmer est que E=F+G. Pour avoir E=F\oplus G il faut montrer l'unicité d'une telle décomposition. Ici, on peut le faire directement. Mais il est bon de savoir que F\cap G=\{0\} assure l'unicité.

E=F+G\\F\cap G=\{0\} \Longleftrightarrow E=F\oplus G

Posté par
djustere : Espace vectoriel 14-12-09 à 21:51

Merci beaucoup !


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