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Espace vectoriel

Posté par
olive_68 18-01-10 à 18:15

Bonsoir

J'ai un petit problème avec le corriger d'un exercice, si vous pouviez m'aider à comprendre ça serait sympa

Citation :
Soit E un K-espace vectoriel, n dans IN* et 3$(e_k)_{1\le k \le n} une famille libre de vecteurs de E.
On pose pour tout k de [1,n-1], ek'=ek+ek+1 et en'=en+e1.

La famille 3$(e_k^{\prime})_{1\le k \le n} est-elle libre ?


Je comprends pas pourquoi on fait une distinction des cas pour n pair et impair (D'autant plus que si n est impaire on a une famille libre et pas si n est pair)

Merci d'avance (Si besoin je posterais le corigée du livre)

Posté par
MatheuxMatoure : Espace vectoriel 18-01-10 à 18:28

bonjour cher ami

où vois-tu une distinction entre les cas pairs et impairs toi ?

Posté par
Arkhnorre : Espace vectoriel 18-01-10 à 18:37

Bonjour.

La distinction entre pair et impair est dans la solution.

Après pour l'intuiter, il n'y a pas de solution miracle, on peut regarder pour les petites valeurs ce que ça donne et on essaye de généraliser.

Enfin, pour le cas pair, en écrivant les coordonnées des {e_k^'} dans la base {e_k}, on s'aperçoit rapidement que la somme des e_k^' d'indice pair est la même que la somme de ceux d'indice impair.

Je n'ai pas regardé en détail le cas impair, mais une récurrence doit surement fonctionner.

Posté par
olive_68re : Espace vectoriel 18-01-10 à 18:37

Bonjour Alain

Oups oui je voulais dire que dans le corrigé il faisait la disctinction.

Mais en fait je viens de comprendre à l'instant que si n est impaire on ne trouve pas de coefficient qui annule les combinaisions linéaires des e'(k) alors que si n est pair on prend les coefficient (-1)^k et ça marche ^^

Désolé du dérangement, c'est en écrivant 3$vect(e_k^{\prime})=a_1(e_1+e_2)+a_2(e_2+e_3)+...+a_{n-1}(e_{n-1}+e_n)+a_n(e_n+e_1) avec 3$a_k=(-1)^k que je m'étais embrouillé..

Merci d'y avoir jeter un coup d'oeil

Posté par
olive_68re : Espace vectoriel 18-01-10 à 18:39

Bonsoir Arkhnor

Merci pour ta réponse, c'est justement ce que j'avais pas fait : " regarder pour les petites valeurs ce que ça donne et on essaye de généraliser".

Posté par
MatheuxMatoure : Espace vectoriel 18-01-10 à 18:44

ah ok !!! je n'avais pas compris ton problème...

heureusement Arkhnor est plus visionnaire que moi !


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