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Espace vectoriel et définition (noyau, image)
Bonsoir :
Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels; f : E
F et g : FG deux applications linéaires. Montrer que :
[Ker(gof)=Ker(f)]
[Ker(g)
Im(f)={0}].
(On sait que
Ker(gof)=f-1(Ker(g)),
que Ker(gof)
Ker(f)
et que Im(gof)
Im(g).)
Je dois montrer l'implication dans les 2 sens :
<= : on sait que Ker(gof)Ker(f), montrons Ker(gof)Ker(f).
Soit x
ker(gof) (gof)(x) = 0G = g(f(x));
on a g(0F)=0G du fait que g est une application linéaire d'où f(x)=0F, d'où xker(f). C'est juste?
Si oui, on a montré <=.
=> : idem je dois montrer dans les deux sens, en prenant Ker(gof)=Ker(f)] comme vrai. Mais je bloque.
Merci pour votre aide!
Bonjour, non c'est faux, ce n'est pas parce que g(0)=0 et que g(f(x)) = 0 que forcément f(x)= 0 !
Indication : considère f(x) et utilise l'hypothèse. 
ok, donc comme on a [Ker(g)
Im(f)={0}], 0ker(g) g(0)=0, et 0Im(f), mais la je bloque, j'ai encore du mal avec les notions de noyaux et images... J'ai regardé mon cours pourtant...
Le cours n'est hélas plus suffisant à ton niveau, il faut cerner les objets et ça prend un peu de temps, c'est normal!
On sait que g(f(x)) = 0 donc est-ce que tu ne vois personne qui serait à la fois dans Ker g et dans Im f?
(utilise l'indice que je t'ai donné avant)
Pour l'autre implication il faut bien regarder ce que tu cherches à démontrer
.
on démarre en prenant un
On cherche à démontrer x=0
on traduit
g(x)=0 et il existe v tel que x=f(v)
et on regarde ce que l'on peut faire avec cela
et l'hypothese initiale Ker(gof)=Ker(f)
on peut calculer a tout hasard gof(v) ...
Donc pour la première implication, je pose xker(gof) g(f(x))=0. D'après les hypothèses on a 0ker(g) g(0)=0 et 0Imf 
x tel que f(x)=0 xkerf.
Pour la deuxième : calcul de gof(v) = g(f(v)) = g(x) = 0 (d'après on traduit xker(g)Im(f), g(x)=0 et il existe v tel que x=f(v)(1)).
d'où vker(gof) vker(f) par ce que l'on admet, et f(v)=0 par (1) donc f(v)=x=0.
c'est ca?
J'ai beaucoup de mal à te suivre, ton raisonnement n'est pas clair du tout, et sûrement faux.
Déjà quand tu dis première implication, je ne sais pas de quoi tu parles, ni ce que tu veux démontrer.
Voici ce que je te propose:
Supposons et prouvons
.
Il est clair que .
Inversement, soit . Alors
donc
.
Par hypothèse, on en tire , ce qui s'écrit bien
.
Conclusion: et on a prouvé le sens <=
e te laisse rédiger l'autre sens.
c'est parfait pour la deuxieme implication
pour la première implication, je suis d'accord avec Tigweg et sa demo est parfaite
tu écris que 0 est "ici ou là". Cela n'est pas tres instructif dans une démo d'algebre lineaire puisque 0 est ds tout sev (partout)
Sans lire de detail on devine que ta demonstration ne peut fonctionner
meme methode, celle suivie par Tigweg
supposons l'hypothese
on cherche a demontrer
on doit donc demontrer deux inclusions
l'une est evidente et tjrs vrai
pour l'autre relit Tigweg
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