Bonjour
1) si tu veux des réponses, donne toi la peine de recopier ton énoncé ! il ne va pas tarder à être effacé ....
2) ce que tu as fait pour la première question n'a aucun rapport avec ce qui est demandé !

Bonsoir,

Je veux bien le reprendre, mais il n'y a aucun bouton pour éditer...

Pourrais-tu supprimer le sujet pour que j'en créé un autre ?

Merci

je ne le peux pas, je ne suis pas modo, mais tu peux le recopier dans ton prochain post sur ce topic, ainsi on aura tout ce qu'il faut même quand un modo sera passé effacer ton énoncé.

Bonsoir à tous !

J'ai un énoncé avec quelques questions qui m'interpellent et dont je ne suis pas certain.

Si quelqu'un veut bien se pencher sur mon problème, merci.

Voici l'énoncé :

On note E l'espace vectoriel des polynomes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 2n+1. Pour tout k de [| 0 ; 2n+1 |], on admet que l'expression X^(2n+1) 1/X^k = X^(2n-k+1).
On désigne par id l'endomorphisme identique de E et on note f l'application qui à toute fonction P de E associe la fonction f(P) définie par f(P) = X^(2n+1) P(1/x).
1- Avec n=2, déterminer f(P) pour P = 2 - X + 3X^2 + X^3 - 2X^4 + X^5
2- Montrer que f est une endomorphisme de E
3-
a) Vérifier que fof = id
b) En déduire les deux valeurs propres possibles de f.
4- Soit P = Somme(pour k variant de 0 à 2n+1) a_k X^k un polynome quelconque de Ker(f-id)
a) Montrer que les a_k (k compris entre 0 et 2n+1) sont solutions du système : Pour tout k appartenant à [| 0 ; n |], a_k = a_(2n-k+1)
b) En déduire une base de Ker(f-id)
5- Déterminer de la même façon une base de Ker(f+id)
6- Que peut on dire de la réunion de ces deux bases ?
Pour la question 1 je trouve :

f(P) = 2X^5 - X^4 + 3X^3 + X^2 - 2X + 1

La 2) pas de souci.
La 3 a) :

f(P) = X^(2n+1) P(1/X)
=> fof(P) = f(X^(2n+1)P(1/X)) = X^(2n+1) [1/(X^(2n+1)) P(1/(1/X))] = P(X)
D'où fof = id

b) :
J'ai déduit que f était la symétrie sur Ker(f-id) de direction Ker(s+id).
Je suppose que les valeurs propres possibles sont -1 et 1, mais je ne sais pas vraiment pourquoi, ni comment l'expliquer (d'ailleurs, pourquoi n'y en aurait-il que deux ? Je ne sais pas).

4 a) pas de souci

b) Je suppose qu'une base est (1, X, ..., X^n) mais je ne sais pas le justifier...

5 a) : je trouve que pour tout k de [| 0 ; n |], a_k = - a_(2n-k+1)
Mais j'ai le même souci pour déterminer une base.

Merci de vos remarques, conseils, astuces, aides...

Bonne soirée

Bonjour

3) b) Comme f o f=Id, si est une valeur propre de F et v un vecteur propre, on a , donc

4) En fait f "renverse" le polynôme. Tu as déjà vu la condition, donc un polynôme tel que f(P)=P s'écrit



et là la base est évidente!

Un polynôme tel que f(P)=-P s'écrit