Inscription / Connexion Nouveau Sujet
espace vectoriel fini et son dual
Bonjour,
je sollicite votre aide sur un exercice sur lequel je transpire énormement.
E un espace de dimension n>=2.
G un sous groupe liaire de E et on note <G> le sous espace vectoriel de L(E) engendré par G (quelqu'un pourrait me donner des exemples de G pour comprendre cette notation de <G>)
On note ta (a en indice, qui est élément de L(E)) l'application qui b de L(E)associe : ta(b) = tr(ab)
1. montrer que ta est linéaire de L(E) dans L(E)* et est bijective. j'ai eu beaucoup de mal : j'ai utiliser les matrices élémentaires et les matrices de permutation.
2. Montrer que si <G> génère L(E) alors tg pour g appartenant à G est génératrice de L* .j'ai utiliser la bijection de la question précédente: toute application bijective transforme une famille génératrice en une autre.
3. On suppose qu'il existe s >1 entier telque pour tout g dans G, g^s = I (I étant l'identité)
a.Montrer que l'ensemble tg(g') lorsque g et g' parcourent G est fini. j'ai utiliser le fait que tout les matrices sont trigonalisables, et j'ai élevé à la puissance s les valeurs propres pour conclure qu'elles sont finies.
b.montrer que si <G> = L(E) alors G est fini. indication : on pourra utiliser une base convenable de L(E)* et la base duale de L(E). je ne vois pas comment faire?
Merci infiniment à tous ceux qui viendront à mon secours 
Bonjour,
certaines questions de ton énoncé ne sont pas très bien formulées, j'espère donc que j'ai bien compris ce dont il retournait:
1)C'est t qui va de E dans E*, pas ta, n'est-ce pas?
Tu dois donc vérifier que pour tout (a;b) de L(E)² et tout (x,y) de R², on a
Cela se vérifie sur les images par ces deux applications de tout vecteur u de E:
.
Cela achève de démontrer la question 1, si j'ai bien compris ton énoncé initial!
Je ne pense pas car il parlait d'une application de E dans E*, monrow
C'est pour ça que je parlais de manque de rigueur dans l'énoncé actuel.
T_a est une application de E dans R, alors que T est une application de E dans E*
T associe à a la forme linéaire qui à b associe tr(ab) si tu préfères!
Bon déjà je rectifie, j'aurais évidemment dû parler de L(E) et de L(E)*, et non de E et E*.
Mais, encore une fois, ce qui me gêne c'est que je ne comprends toujours pas ton énoncé, karim!
G est-il un sous-groupe de (GL(E), o) ou de (L(E),+)?
Avoue que cette phrase :
G un sous groupe liaire de E
a de quoi laisser perplexe!
Et cela change tout au niveau de la résolution des questions!
Pour la 3a) en effet, je ne vois pas comment prouver le résultat attendu si G est un sous-groupe de L(E).
En revanche si c'est un sous-groupe de GL(E), on montre comme tu l'as fait que l'ensemble {tr(g),
fini et on se sert du fait que par hypothèse même, gg' est encore dans G pour conclure que l'ensemble
{tr(gg',
Pour la question 2, c'est ok.
Enfin pour la 3b, j'ai une idée (et même un peu plus):
G engendre L(E) donc d'après (2), t(G)engendre L(E)*: en utilisant l'axiome du choix, il existe donc une sous-famille de l'ensemble {t(g),
Or L(E)* est un espace de dimension finie n², donc cette base peut s'écrire
Soit A la matrice de passage la base canonique
Soit g appartenant à G.
Il a pour coordonnées
On a la relation matricielle:
Or la question 2 entraîne assez clairement que l'ensemble des matrices
Cela équivaut à dire que l'ensemble des matrices
Or
Tigweg
Je me rends compte que j'ai dit une bêtise:
B'* n'est pas la base duale de la famille B' que je donne;
en revanche, on est en droit d'appeler B' l'unique (par bidualité) base de L(E) dont la duale est B'*.
Ca devrait tenir avec ça.
Bonjour Tigweg,
je n'ai fait que recopier littéralement l'énoncé entre mes mains.
ils disent texto :"G est un sous groupe du groupe linéaire de E et on note <G> le sous-espace vectoriel de L(E) engendré par G"
Ensuite, je voulais savoir si l'objectif de ta démonstration était de montrer que si les coordonnées des éléments de G dans L(E) sont finies alors G est fini ?
Merci infiniment
Je veux également comprendre pourquoi tu ne t'es pas contenté du fait que étant donné que les coordonnées des éléments de G sont finies dans B' alors on peut conclure à la finitude de G, ie pourquoi as tu eu recours à la base B ?
Bonjour karim
ils disent texto :"G est un sous groupe du groupe linéaire de E
> Ok, là c'est clair, mais tu avais mal recopié, c'est bien ce que je disais:
G un sous groupe liaire de E
Ensuite, je voulais savoir si l'objectif de ta démonstration était de montrer que si les coordonnées des éléments de G dans L(E) sont finies alors G est fini ?
->Oui en remplaçant ton "si" par un "comme".
En fait je prouve que les coordonnées des éléments de G dans une certaine base (B') sont en nombre fini, donc c'est aussi le cas par rapport à la base "canonique" de L(E), donc G est fini.
Je veux également comprendre pourquoi tu ne t'es pas contenté du fait que étant donné que les coordonnées des éléments de G sont finies dans B' alors on peut conclure à la finitude de G, ie pourquoi as tu eu recours à la base B ?
-> En théorie tu as entièrement raison.Mais pour la simple et bonne raison qu'une matrice de passage est inversible, et que prouver la finitude des possibilités dans une base donnée équivaut donc à le faire dans une autre base.Cela dit, il est possible que la preuve à laquelle tu pensais (sans matrice de passage donc) soit acceptée, cependant si tu procèdes comme je l'ai fait, tu suis l'indication de l'énoncé, c'est donc quand même ce qui est attendu je pense.
Tu corrigeras toi-même, à certains endroits je me suis arrêté au n-ième vecteur alors que les bases de L(E) et de L(E)* ont toutes n² éléments bien-sûr.
Merci infiniment
-> Avec plaisir!
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac