si a différent de 1 la dimension vaut 3 pardon , alors j'ai bon ?

Bonjour,


Ton exercice revient à trouver le noyau de l'application linéaire que tu décris avec la matrice...pour être rigoureux, on fait un pivot de gauss par exemple afin de bien voir combien de paramètre on a.

Là on voit que si a=1, le noyau est de dimension 2 vu que l'image est engendrée par (1,1,1) et (1,2,1) et 4-2=2

Si a<>1 je pense qu'il serait mieux de faire une résolution M*X=0

si a différent de 1 j'ai pris gauss et j'obtiens une dimension de 3 :

je fixe x = C

z = -t - C

y = 0

t = t

j'ai bien 3 coordonnées...

Ok,

je conseillais Gauss c'était pour éviter les conclusions trop hâtives car on a envie de dire tout de suite le résultat vu que les vecteurs sont "simples".

ok , et sinon par contre ya une seconde question :

pour a = 1 , trouver une base de Ea . Donc comme dim Ea = 2 , la base se compose de 2 vecteurs tu es d'accord ? donc pour a = 1 , x = 0 , y = 0 , il reste z+t = 0 , donc z = -t , comment tu fais avec ça pour avoir 2 vecteurs c'est absurde vu que tout vecteur s'écrirait :

(0,0,-t,t) , ça me fait t(0,0,-1,1) , ya qu'un seul vecteur là ça colle pas cette histoire...

Quand il s'agit de trouver 2 vecteur, autant le faire "à l'intuition"

En gros, si a=1 l'équation de l'espace est alors :


Il suffit donc de trouver 2 vecteurs indépendants qui vérifient les équations par exemple :

(0,0,1,-1) et (1,0,-1,0)...bref on obtient une famille libre de cet espace, et comme on sait que l'espace est de dimension 2, on est sûr que c'est une base.

non mais que penses tu de ce que j'ai écrit à mon message précédent...j'ai bon et ça colle pas...

Ton raisonnement te permet de trouver une solution, pas toutes les solutions, car tu imposes d'entrée de jeu x=y=0...maintenant, tu peux essayer de trouver une solution pour y=z=0...ça va te donner un nouveau vecteur solution qui n'est pas proportionnel à celui que tu trouves.

La méthode rigoureuse, si on ne veut pas se fier à son intuition c'est de résoudre le système et d'exprimer 2 variables en fonction de 2 autres (qui seront des paramètres) :

erf j'ai appliqué gauss rigoureusement , regarde :

x+y+z+t = 0
x+2y+z+t = 0
ax + y + z + t = 0

x+y+z+t = 0
y = 0
x(a-1) = 0

si a = 1 , on a bien x = C t z = -t , donc par exemple une base peut etre ( avec C = 1 par exemple ) :

x(1,0,0,0) + t(0,0,-1,1) , j'ai bien trouvé une base là ?

ya un truc qui ne va pas si on applique gauss , regardez :

x+y+z+t = 0
y = 0
x(a-1) = 0

si a différent de 1 , on a obligatoirement x = 0 et y = 0 , il reste plus que 2 coordonnées , impossible d'avoir 3 vecteurs

j'ai compris , pour a différent de 1 , la dimension vaut 1 , c'est bon j'ai compris , merci erfff

et sinon pour a = 1 , cette base que j'ai trouvé elle t'elle juste :

x(1,0,0,0) + t(0,0,-1,1)

merci