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Espaces euclidiens
Bien le bonjour à vous!
voila voila
J'ai des soucis sur un exercice de géométrie euclidienne, un peu d'aide serait la bienvenue^^
Soit E espace vetoiel euclidien et R(
) = cos -sin
sin cos)
(c'est la matrice d'une rotation). On veut montrer que pour out automorphisme orthogonal u de E il existe une base orthonorme B telle que MB(u)=diag(D,R1,...,Rp) , où D est une matrice diagonale avec uniquement des 1 et des -1 et pour tout k, il existe ktel que Rk=R(k)
a) Que peut on dire de sepctre de u? -> ça c'est fait.
b) soit x vecteur propre de u+u*. Montrer que vect(x,u(x)) et son orthogonal sont stables par u -> fait
c)Prouver le résultat par recurrence sur la dim de E -> j'y arrive pas
Je vous remercie d'avance
Bonjour
Pas facile de donner des indications sans tout écrire! Si M est diagonalisable, c'est réglé! On suppose donc M non diagonalisable. Tu choisis x xomme dans b). Le sous-espace (x,u(x)) est stable et de dimension 2, u induit dessus une rotation. Son orthogonal est stable et de dimension n-2 donc tu peux appliquer l'hypothèse de récurrence à l'application induite par u dessus!
Bonjour Camélia!!!!!!!!!!!!! 
:D:D:D Merci de répondre ^^
Si M est diagonalisable c'est réglé?
Qui est M? C'est la matrice de u dans une base quelconque je suppose... Mais alors si M est diagonalisable on peut trouver une base ou la matrice est diagonale mais pourquoi n'aurait-elle que des 1 et des -1 ?
J'ai quand même encore des qestions:
-à quoi sert de distinguer deux cas:u diagonalisable ou pas?
-pourquoi u induit-elle une rotation du plan (x,u(x))?
-si on démarre la recurrence à dimE=2, on a deux cas:
-> soit u est une rotation et on a u qui est de la forme voulue
-> soit u n'est pas dans le groupe spécial orthogonal. dans ce cas, dans une base orthonormale, u s'écrit: cos sin
sin -cos
dans ca cas comment vérifier la récurrence? (la matrice est tres mal écrite mais l'éditeur décale les deux lignes; je ne sais pas pourquoi)
Merci
Ben si ta matrice dans le plan n'est pas dans la groupe spécial orthogonal, alors c'est une reflexion et elle est diagonalisable.
Tu as raison, c'est une meilleure rédaction si on ne distingue pas diagonalisable ou non.
Pour la dimension 1, rien à dire.
En effet il faut démarrer à la dimension 2. Si u n'est pas dans le spécial orthogonal il y a une base sur laquelle la matrice de u est Diag(1,-1) (sur la forme que tu as écrite, tu vois que det(u)=-1 ET trace(u)=0.
Enfin, tu prends vect(x,u(x)) comme on a dit, c'est un espace de dimension 2, donc ou c'est une rotation ou c'est une symétrie, puis tu appliques la récurrence à l'orthogonal de dimension n-2.
Au passage il y a une demonstration plus naturelle (mais moins geometrique) Il suffit de remarquer que si u est orthogonale alors il est normal et donc si l'on considère u domme endomorphisme de il est diagonalisable et sa diagonale est consituté de blocs de la forme diag(e^{it}, e^{-it}), comme ces blocs sont conjugués à tes blocs R(theta) on en deduit que ta matric est conjuguée sur C a une matrice de la forme que tu veux, sur C, comme elles sont reelles toutes les deux on conclut avec un resultat connu.
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