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Espaces préhilbertiens et réduction

Posté par
klux 16-05-11 à 13:38

Bonjour,

Je rencontre quelques difficultés sur l'exercice suivant :
_______________________________________________________________________________________________________

On note 3$ E=C^0([0,1],\mathbb{R}) que l'on munit du produit scalaire 3$ <f,g>=\int_0^1 f(t)g(t)dt.

Pour 3$ f \in E, on pose 3$ T(f) : x \mapsto \int_0^x f(t)dt et 3$ S(f) : x \mapsto \int_x^1 f(t)dt.

1. Pour 3$ \omega \in \mathbb{R}^*, résoudre l'équation 3$ (H_\omega) : y''+\omega^2y=0. Montrer que 3$ (H_\omega) admet une solution non nulle telle que 3$ f'(0)=f(1)=0 si, et seulement si, 3$ \cos(\omega)=0.

2. Soit 3$ f \in E. Montrer que 3$ S(f) et 3$ T(f) sont de classe 3$ C^1 sur 3$ [0,1] et calculer 3$ S(f)' et 3$ T(f)'.

3. On pose 3$ \Phi=S \circ T. Soit 3$ f \in E. Montrer que 3$ \Phi(f) est de classe 3$ C^2 sur 3$ [0,1], que 3$ \Phi(f)''=-f et que 3$ \Phi(f)'(0)=\Phi(f)(1)=0. Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de 3$ \Phi.

4. Montrer que, si 3$ f,g \in E, 3$ <T(f),g>=<f,S(g)>. Montrer que les espaces propres de 3$ \Phi sont deux à deux orthogonaux.
_______________________________________________________________________________________________________

1. J'ai répondu à cette question (d'ailleurs il semble qu'il y ait une erreur d'énoncé ; il doit plutôt s'agir de 3$ \omega \in \mathbb{R}_+^*).

2. J'ai utilisé le théorème fondamental du calcul différentiel/intégral et trouver 3$ S(f)'=-f et 3$ T(f)'=f.

3. C'est là que je bloque. En dérivant, je trouve 3$ \Phi(f)'=-f\times (f \circ T(f)) et 3$ \Phi(f)''=-f'\times (f \circ T(f))-f^2\times (f' \circ T(f)) alors qu'on suppose seulement que f est continue...

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Arkhnorre : Espaces préhilbertiens et réduction 16-05-11 à 13:54

Bonjour.

1) Qu'est-ce que ça change pour \omega^2 et \cos (\omega) de savoir que \omega est positif ou non ? Le signe n'a aucun impact sur l'équation ou la condition.

2) Ok.

3) Je ne suis pas d'accord avec ta dérivée. Il semble que tu fais une confusion : il ne s'agit pas de dérivée la composée de deux fonctions ici. On a \Phi(f) = S(T(f)). On ne dérive donc pas la composée S \circ T, mais la fonction S(T(f)) ... Il faut utiliser le résultat de la question précédente.

(d'ailleurs, tu devrais te rendre compte qu'il y a un problème dans ce que tu écris : f \circ T(f) peut ne pas avoir de sens, puisque f n'est définie que sur [0,1], alors que T(f) ne prend pas forcément ses valeurs dans [0,1])

A méditer.

Posté par
kluxre : Espaces préhilbertiens et réduction 16-05-11 à 14:05

Merci d'avoir répondu rapidement Arkhnor.

1. J'avoue, je n'ai pas fait attention au carré... (parce que sans le carré, selon le signe de omega, la solution est soit une combinaison de cos et sin soit une combinaison de ch et sh). Bref, je retire ce que j'ai dit !

3. Je viens de comprendre que ce que j'ai écrit n'a aucun sens ici vu le domaine de définition de f. Merci ! Par contre, phi est bien la composée des fonctions S et T donc je ne vois pas pourquoi la formule de dérivation d'une composée n'est pas applicable ici...

Donc, en utilisant la question 2, il vient 3$ \Phi(f)'=S(T(f))'=-T(f). C'est bien ça ?

Posté par
kluxre : Espaces préhilbertiens et réduction 16-05-11 à 14:12

Je viens de comprendre en fait. J'ai fait comme si 3$ \Phi(x)=S(T(x)), alors que 3$ \Phi(x)=S(T)(x).

Correct ?

Posté par
Arkhnorre : Espaces préhilbertiens et réduction 16-05-11 à 15:17

Citation :
Par contre, phi est bien la composée des fonctions S et T donc je ne vois pas pourquoi la formule de dérivation d'une composée n'est pas applicable ici...

Parce que la dérivation des fonctions composées s'appliquent à des fonctions de \mathbb{R} dans \mathbb{R}, alors que S et T sont des applications linéaires de E dans E.

On a 3$ \Phi(f) = S(T(f)), c'est-à-dire que pour trouver 3$ \Phi(f), on calcule 3$ T(f), qui est un élément de E (c'est-à-dire une fonction), et on lui applique S, qui redonne encore un élément de E. S et T sont des applications qui à une fonction associe une autre fonction : on agit "un niveau au dessus", et ce n'est pas à ce niveau là qu'intervient la dérivation, on dérive les fonctions sur lesquelles agissent S et T, mais on ne dérive pas S \circ T.

Je pense qu'il est vraiment important de comprendre ça.

Autrement, je suis d'accord avec ta formule 3$ \Phi(f) = -T(f). Je détaille un peu, si ce n'est toujours pas clair. On a montré que la dérivée de 3$ S(f) est 3$ -f pour toutes les fonctions f \in E. Si c'est vrai pour toutes les fonctions de E, c'est donc vrai pour toutes les fonctions de la forme 3$ T(f), donc la dérivée de la fonction 3$ S(T(f)) est donnée par 3$ -T(f).

PS : En rédigeant ma réponse, je viens de comprendre ce que tu as voulu dire dans ton dernier message, sauf que tu as oublié f dans tes formules.

Mais je suis d'accord : 3$ \Phi(f), c'est la fonction définie par 3$ \Phi(f)(x) = S(T(f))(x), et non par 3$ \Phi(f)(x) = S(T(f(x))). (cette formule n'a d'ailleurs pas de sens : f(x) est un réel, alors que T s'applique à des éléments de E.

J'espère que j'ai été plus clair avec cette réponse.

Posté par
kluxre : Espaces préhilbertiens et réduction 16-05-11 à 15:26

Oui, merci beaucoup, c'est bien plus clair maintenant.

J'essaye maintenant de déterminer les éléments propres de 3$ \Phi.

Soit 3$ \lambda \in \text{Sp}(\Phi).

3$ \exists f \in E / f \neq 0 et 3$ \Phi(f)=\lambda f.

On a donc 3$ \Phi(f)=S(T(f))=\lambda f soit 3$ \forall x \in [0,1], \int_x^1 T(f)(t)dt=\lambda f(x).

Mais comment poursuivre ? Je pense qu'il faut utiliser le fait que 3$ \Phi(f)''=-f et le résultat de la question 1, mais j'aurais besoin d'un petit coup de pouce

Posté par
Arkhnorre : Espaces préhilbertiens et réduction 16-05-11 à 15:44

Et bien, dérive deux fois l'équation que tu as avec la valeur propre. Il suffit juste de rassembler toutes les informations dont tu disposes et d'en tirer profit : on a une équation qui relie 3$ f et 3$ \Phi(f), et partout où on regarde dans ce qui précède, ce sont les dérivées secondes qui interviennent, donc on dérive deux fois l'équation.

A ce stade des choses, on a même plus besoin des formules explicites pour T et S, toutes leurs propriétés ont été résumées auparavant.

Posté par
kluxre : Espaces préhilbertiens et réduction 16-05-11 à 15:59

Oui, en dérivant deux fois on obtient 3$ \Phi(f)''=-f=\lambda f'' qui est l'équation différentielle de la question 1.

Mais vu qu'on suppose seulement f continue, comme justifier ce calcul ?

Posté par
kluxre : Espaces préhilbertiens et réduction 16-05-11 à 16:24

En fait, il faut utiliser 3$ \Phi(f)''=-f et 3$ \Phi(f)=\lambda f.

Donc supposons que 3$ \lambda \neq 0 : 3$ \Phi(f)''=-\frac{1}{\lambda}\Phi(f).

C'est mieux comme ça vu qu'on a prouvé que 3$ \Phi est deux fois dérivables et qu'en plus c'est sur cette fonction qu'on a des informations (conditions aux limites).

Posté par
kluxre : Espaces préhilbertiens et réduction 16-05-11 à 16:59

J'ai trouvé que les valeurs propres de 3$ \Phi sont les 3$ \frac{1}{\left(k+\frac{1}{2}\right)^2\pi^2} (3$ k \in \mathbb{Z}) et que les espaces propres associés sont les 3$ \text{Vect}\left(x \mapsto \cos\left(\left[k+\frac{1}{2}\right]\pi x\right)\right).

Posté par
kluxre : Espaces préhilbertiens et réduction 16-05-11 à 17:17

J'ai montré la relation demandée à la question 4, mais je n'arrive pas à conclure.

Si j'avais montré que 3$ <\Phi(f),g>=<f,\Phi(g)>, j'aurais réussi à conclure mais là je n'y arrive pas.

Je vois bien qu'il est question de redémontrer le fait que les espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux, mais je bloque.

Posté par
Arkhnorre : Espaces préhilbertiens et réduction 19-05-11 à 17:52

Bonjour.

Désolé, je répond un peu en retard ... J'espère que ça ne te pénalise pas trop.

C'est exactement la même démonstration que pour les endomorphismes auto-adjoints. (d'ailleurs, \Phi est auto-adjoint ...)
Si f et g sont des vecteurs propres de \phi associés respectivement aux valeurs propres \lambda et \mu, avec \lambda \neq \mu, alors on a <f,g> = \frac{1}{\lambda} <\Phi f, g>.
En utilisant le fait que \Phi = S \circ T et la propriété que tu as démontré, on arrive à quelque chose d'intéressant.

Bref, il s'agit juste de mélanger toutes les hypothèses et d'agiter ...

Posté par
kluxre : Espaces préhilbertiens et réduction 19-05-11 à 20:19

Bonsoir,

Je suis en PC et les endomorphismes auto-adjoints ne sont pas au programme.

Mais je vais essayer de me débrouiller.

Merci d'avoir répondu.


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