Bonsoir,

j'imagine que ton symbole / ne représente pas une division mais un conjugué!!




Pour tout (a;b) de C², ton application est bien un endomorphisme de C en tant que R-espace vectoriel.

Identifions R² à C en tant que R-e.v. et considérons l'application





u: R²xR² -> L(C)
(a;b) -> (z->az+b).






a et b sont considérés comme des couples de réels à gauche, comme des complexes à droite.





Il est clair que u est R-linéaire (le vérifier scrupuleusement!).




L'injectivité est quasi-immédiate (il faut prouver que si a et b sont tels que pour tout z, az+b alors a=b=0).





Comme les deux espaces mis en jeu sont tous deux de dimension 4 sur R, u est un isomorphisme.




A fortiori, elle est surjective, ce qui prouve que tout R-endomorphisme de C est susceptible d'être représenté par une application du type z->az+b.

wa c'est très compliqué! (je suis en PTSI désolé ^^)
"Identifions R² à C" rien que cela...
j'imagine qu'associer a un élément a+ib revient a lui associer le couple (a,b) c'est cela?Mais de la à transformer mon application comme vous l'avait fait....
Enfin voila si vous pensez qu'il y a beaucoup trop de travail pour mon cas ça ne me vexera pas ,si vous n'avez pas le temps, que vous abandonniez  j'attendrais la correction...sinon si vous pouviez détailler un peu (beaucoup?) la transformation de l'application...
Pour l'injectivité Ker{f}=0 ça je comprends (ouf!)

Merci beaucoup a vous

OK OK,

on va faire plus simple...Moins théorique mais plus calculatoire!


Par contre il faut quand même comprendre que C, c'est R² en tant que R-ev, rien de difficile vu que C est un R-ev de dimension 2 (une base possible en est (1;i)).

Donc un endomorphisme de C dans C, c'est un endomorphisme de R² dans R².

Il est donc de la forme (x,y) -> (ux+vy ; u'x+v'y) avec u,u',v,v' réels.

En revenant aux complexes, cela donne u: z=x+iy -> u(z)= (ux+vy) + i (u'x+v'y).

Donc u(z) = (u+iu')x + (v+iv')y avec et .

On remplace, on rassemble les termes selon z et , et enfin on appelle a et b les complexes qui apparaissent devant eux...

Excusez moi mais je ne comprends pas comment trouver la forme générale d'un endomorphisme de R² dans R².

Oui, c'est la forme générale des applications linéaires de R² dans R², et c'est dans ton cours, j'en suis sûr!



Ca vient du fait que la matrice dans la base canonique de R² d'une telle application linéaire f est de la forme donc que l'image par f du vecteur de coordonnées (x,y) a pour coordonnées .

a non c'est pas dans mon cours d'ailleurs j'ai pas encore fait les matrices ^^ (oui je sais c'est presque la fin de l'année mais ce sera le chapitre suivant...)
Pourtant si mon prof me l'a donné maintenant c'est qu'on a les outils pour le résoudre...
On ne peut pas retrouver ce résultat autrement que par les matrices?
Merci de votre patience

PTSI

Lol...Bon il reste la solution "bourrin de chez bourrin":

Soit (e1,e2) la base canonique de R².

f(e1) est combinaison de e1 et e2 d'où:


f(e1)=ue1+u'e2 avec u et u' réels, de même:

f(e2)=ve1+v'e2

Pour tout vecteur xe1+ye2 de R² on aura donc par linéarité de f:


f(xe1+ye2)=xf(e1)+yf(e2)=x(ue1+u'e2)+y(ve1+v'e2)=(xu+yv)e1+(xu'+yv')e2,

c'est-à-dire:

f(x,y)=(xu+yv;xu'+yv').


Bon j'ai droit à l'apéro après tout ça non?

Tig :

Bonjour

C'est bon j'ai réussi merci beaucoup de votre aide

PTSI

Lafol :

jeanseb:











abdalnour: avec plaisir, mais tu ne me paies pas à boire??

si; un jus d'orange si vous voulez...

Eh bien voilà, comme ça ça fera mentir jeanseb!

Bon le smiley :jusdorange: ne marche pas encore, mais il suffit d'un peu d'imagination...

Allez hop jus d'orange pour tout l'monde _{(mais non guitou ne fais pas la tête )}

Et le petit smiley qui va avec :

Wouaw superbe, Kevin!, merci!

_{Bon, on voit que ce n'est pas du 100% pur fruit, mais la rondelle d'orange et le glaçage du verre rattrapent l'ensemble!}

Chut fallait pas le dire, cocktail maison

Bonne aprem

Merci, à toi aussi!

Une p'tite soif lafol ?

un peu tôt pour l'apéro, non ?

mdr

You take the apero ?

Le kéké des plages vous souhaite une bonne soirée

Je précise que je ne suis pas une balance [détente]_JFF_Charade_203

Ce topic, c'est plus un salon de thé, c'est un café du commerce...